En la teoría de sistemas dinámicos, la teoría del índice de Conley , llamada así por Charles Conley , analiza la estructura topológica de conjuntos invariantes de difeomorfismos y de flujos uniformes . Es una generalización de gran alcance del teorema del índice de Hopf que predice la existencia de puntos fijos de un flujo dentro de una región plana en términos de información sobre su comportamiento en la frontera. La teoría de Conley está relacionada con la teoría de Morse , que describe la estructura topológica de una variedad cerrada por medio de un campo vectorial de gradiente no degenerado . Tiene una enorme gama de aplicaciones para el estudio de la dinámica, incluida la existencia deórbitas periódicas en sistemas hamiltonianos y soluciones de ondas viajeras para ecuaciones diferenciales parciales , estructura de atractores globales para ecuaciones de reacción-difusión y ecuaciones diferenciales de retardo , prueba del comportamiento caótico en sistemas dinámicos y teoría de la bifurcación . La teoría del índice de Conley formó la base para el desarrollo de la homología de Floer .
Las nociones de vecindario aislado N y conjunto invariante aislado S juegan un papel clave en la teoría . El índice de Conley h ( S ) es el tipo de homotopía de cierto par ( N 1 , N 2 ) de subconjuntos compactos de N , llamado par índice . Charles Conley demostró que existen pares de índices y que el índice de S es independiente de la elección de un vecindario aislado Ny el par índice. En el caso especial del flujo de gradiente negativo a una función uniforme, el índice de Conley de un punto crítico no degenerado (Morse) del índice k es el tipo de homotopía puntiaguda de la k -esfera S k .
Un teorema profundo debido a Conley afirma la invariancia de continuación : el índice de Conley es invariante bajo ciertas deformaciones del sistema dinámico. Por lo tanto, el cálculo del índice puede reducirse al caso del difeomorfismo o un campo vectorial cuyos conjuntos invariantes se entienden bien.
Si el índice no es trivial, entonces el conjunto invariante S no es vacío. Este principio se puede ampliar para establecer la existencia de puntos fijos y órbitas periódicas dentro de N .