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Let Y → X sea un haz afín modelada sobre un paquete del vector Y → X . Una conexión Γ en Y → X se llama la conexión afín si como una sección Γ: Y → J 1 Y del chorro de haz J 1 Y → Y de Y es un afín haz morfismo sobre X . En particular, esta es una conexión afín en el paquete tangente T X de unsuavizar colector X . (Es decir, la conexión en un paquete afín es un ejemplo de una conexión afín; sin embargo, no es una definición general de una conexión afín. Estos son conceptos relacionados pero distintos que, lamentablemente, hacen uso del adjetivo "afín").
Con respecto a las coordenadas del paquete afín ( x λ , y i ) en Y , una conexión afín Γ en Y → X viene dada por la forma de conexión valorada en tangente
Un haz afín es un haz de fibras con un grupo de estructura afín general GA ( m , ℝ) de transformaciones afines de su fibra típica V de dimensión m . Por lo tanto, una conexión afín está asociada a una conexión principal . Siempre existe.
Para cualquier afín conexión Γ: Y → J 1 Y , la correspondiente lineal derivado Γ : Y → J 1 Y de un morfismo afín Γ define una única conexión lineal en un paquete del vector Y → X . Con respecto a las coordenadas lineales del paquete ( x λ , y i ) en Y , esta conexión dice
Dado que cada paquete de vectores es un paquete afín, cualquier conexión lineal en un paquete de vectores también es una conexión afín.
Si Y → X es un paquete de vectores, tanto una conexión afín Γ como una conexión lineal asociada Γ son conexiones en el mismo paquete de vectores Y → X , y su diferencia es una forma de soldadura básica en
Por lo tanto, cada conexión afín en un paquete del vector Y → X es una suma de una conexión lineal y una forma de soldadura básica sobre Y → X .
Debido a la división vertical canónica V Y = Y × Y , esta forma de soldadura se lleva a una forma de valor vectorial
donde e i es una base de fibra de Y .
Dada una conexión afín Γ en un paquete de vectores Y → X , sean R y R las curvaturas de una conexión Γ y la conexión lineal asociada Γ , respectivamente. Se observa fácilmente que R = R + T , donde
es la torsión de Γ con respecto a la forma básica de soldadura σ .
En particular, considere el paquete tangente T X de una variedad X coordinada por ( x μ , ẋ μ ) . Existe la forma de soldadura canónica
en T X que coincide con el tautológico de una forma
en X debido a la división vertical de canónica VT X = T X × T X . Dada una conexión lineal arbitraria Γ en T X , la conexión afín correspondiente
en T X es la conexión Cartan . La torsión de la conexión de Cartan A con respecto a la forma de soldadura θ coincide con la torsión de una conexión lineal Γ , y su curvatura es una suma R + T de la curvatura y la torsión de Γ .
Ver también
- Conexión (colector de fibra)
- Conexión afín
- Conexión (paquete de vectores)
- Conexión (matemáticas)
- Teoría de calibre afín
Referencias
- Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1996). Fundamentos de la geometría diferencial . 1-2 . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
- Sardanashntly, G. (2013). Geometría diferencial avanzada para teóricos. Haz de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana . Publicaciones académicas de Lambert. arXiv : 0908.1886 . Código Bibliográfico : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7.