La teoría de calibre afín es la teoría de calibre clásica donde los campos de calibre son conexiones afines en el haz tangente sobre un colector uniforme. . Por ejemplo, se trata de la teoría gauge de las dislocaciones en medios continuos cuando, la generalización de la teoría de la gravitación métrica-afín cuandoes una variedad mundial y, en particular, la teoría de gauge de la quinta fuerza .
Paquete tangente afín
Al ser un paquete vectorial , el paquete tangente de una -múltiple dimensional admite una estructura natural de un paquete afín , llamado paquete tangente afín , que posee atlas de paquete con funciones de transición afines. Está asociado a un paquete principal de fotogramas afines en el espacio tangente sobre , cuyo grupo de estructura es un grupo afín general .
El paquete tangente está asociado a un paquete de tramas lineales principal , cuyo grupo de estructura es un grupo lineal general . Este es un subgrupo de de modo que este último es un producto semidirecto de y un grupo de traducciones.
Existe la incrustación canónica de a en un subconjunto principal reducido que corresponde a la estructura canónica de un paquete de vectores como el afín.
Dadas las coordenadas lineales del paquete
en el paquete tangente , el paquete tangente afín se puede proporcionar con coordenadas de paquete afines
y, en particular, con las coordenadas lineales (1).
Campos de calibre afines
El paquete tangente afín admite una conexión afín que está asociado a una conexión principal en un paquete de tramas afines. En la teoría de calibre afín, se trata como un campo de calibre afín .
Dadas las coordenadas lineales del paquete (1) en , una conexión afín está representado por una forma de conexión con valores de tangente
Esta conexión afín define una conexión lineal única
en , que está asociado a una conexión principal en .
Por el contrario, cada conexión lineal (4) en se extiende al afín en que viene dada por la misma expresión (4) que con respecto a las coordenadas del paquete (1) en , pero toma una forma
en relación con las coordenadas afines (2).
Entonces cualquier conexión afín (3) en está representado por una suma
de la conexión lineal extendida y una forma de soldadura básica
en , dónde debido al isomorfismo canónico del haz tangente vertical de .
En relación con las coordenadas lineales (1), la suma (5) se convierte en una suma de una conexión lineal y la forma de soldadura (6). En este caso, la forma de soldadura(6) a menudo se trata como un campo de indicador de traducción , aunque no es una conexión.
Observemos que un verdadero campo de indicador de traslación (es decir, una conexión afín que produce una conexión lineal plana en ) está bien definido solo en una variedad paralelizable .
Teoría del calibre de las dislocaciones
En la teoría de campo, uno se encuentra con un problema de interpretación física de los campos de calibre de traducción porque no hay campos sujetos a traducciones de calibre. . Al mismo tiempo, se observa un campo de este tipo en la teoría gauge de las dislocaciones en medios continuos porque, en presencia de dislocaciones, los vectores de desplazamiento, , de pequeñas deformaciones se determinan solo con precisión para calibrar las traslaciones .
En este caso, dejemos y dejar que una conexión afín tome forma
con respecto a las coordenadas afines del paquete (2). Este es un campo de indicador de traslación cuyos coeficientesdescribir distorsión plástica , derivadas covariantes coinciden con la distorsión elástica y una fuerza es una densidad de dislocación.
Las ecuaciones de la teoría de calibre de las dislocaciones se derivan de una densidad lagrangiana invariante de calibre
dónde y son los parámetros de Lamé de los medios isotrópicos. Sin embargo, estas ecuaciones no son independientes ya que un campo de desplazamiento puede eliminarse mediante traducciones de calibre y, por lo tanto, deja de ser una variable dinámica.
Teoría del calibre de la quinta fuerza
En la teoría de la gravitación de calibre en una variedad mundial, se puede considerar una conexión afín, pero no lineal, en el paquete tangente de . Dadas las coordenadas del paquete (1) en, toma la forma (3) donde la conexión lineal (4) y la forma básica de soldadura (6) se consideran variables independientes.
Como se mencionó anteriormente, la forma de soldadura (6) a menudo se trata como un campo de indicador de traducción, aunque no es una conexión. Por otro lado, uno identifica erróneamentecon un campo de tétrada . Sin embargo, estos son objetos matemáticos diferentes porque una forma de soldadura es una sección del paquete tensorial, mientras que un campo de tétrada es una sección local de un subconjunto reducido de Lorentz de un paquete de tramas.
En el espíritu de la teoría gauge de dislocaciones antes mencionada, se ha sugerido que un campo de soldadura puede describir deformaciones sui generi de una variedad mundial que están dados por un morfismo de paquete
dónde es una forma única tautológica .
Entonces uno considera la teoría de la gravitación métrica-afín en una variedad mundial deformada como aquella con una métrica pseudo-Riemanniana deformada cuando un lagrangiano de un campo de soldadura toma una forma
- ,
dónde es el símbolo de Levi-Civita , y
es la torsión de una conexión lineal con respecto a una forma de soldadura .
En particular, consideremos este modelo de calibre en el caso de pequeños campos gravitacionales y de soldadura cuya fuente de materia es una masa puntual. Entonces se llega a un potencial newtoniano modificado del tipo de quinta fuerza .
Ver también
Referencias
- A. Kadic, D. Edelen, A Gauge Theory of Dislocations and Disclinations , Lecture Notes in Physics 174 (Springer, Nueva York, 1983), ISBN 3-540-11977-9
- G. Sardanashntly , O. Zakharov, Gauge Gravitation Theory (World Scientific, Singapur, 1992), ISBN 981-02-0799-9
- C. Malyshev, Las funciones de tensión de dislocación a partir de las ecuaciones de calibre T (3) de doble rizo: Linealidad y mirar más allá, Annals of Physics 286 (2000) 249.
enlaces externos
- G. Sardanashntly , Gravedad como campo de Higgs. III. Desviaciones no gravitacionales del campo gravitacional, arXiv : gr-qc / 9411013 .