En matemáticas y física , los símbolos de Christoffel son una matriz de números que describen una conexión métrica . [1] La conexión métrica es una especialización de la conexión afín a superficies u otros colectores dotados de una métrica , lo que permite medir distancias en esa superficie. En geometría diferencial , una conexión afín se puede definir sin referencia a una métrica, y siguen muchos conceptos adicionales: transporte paralelo , derivadas covariantes , geodésicas, etc. tampoco requieren el concepto de métrica. [2] [3] Sin embargo, cuando se dispone de una métrica, estos conceptos pueden vincularse directamente a la "forma" de la variedad en sí; esa forma está determinada por cómo el espacio tangente está unido al espacio cotangente por el tensor métrico . [4] En resumen, uno diría que la variedad tiene un paquete de marcos asociado ( ortonormal ) , siendo cada " marco " una posible elección de un marco de coordenadas . Una métrica invariante implica que el grupo de estructura del paquete de tramas es el grupo ortogonal O ( p , q ) . Como resultado, tal variedad es necesariamente una variedad ( pseudo ) riemanniana . [5] [6] Los símbolos de Christoffel proporcionan una representación concreta de la conexión de la geometría (pseudo) riemanniana en términos de coordenadas en la variedad. Los conceptos adicionales, como transporte paralelo, geodésica, etc., se pueden expresar en términos de símbolos de Christoffel.
En general, hay un número infinito de conexiones métricas para un tensor métrico dado ; sin embargo, existe una conexión única que está libre de torsión , la conexión Levi-Civita . Es común en física y relatividad general trabajar casi exclusivamente con la conexión Levi-Civita, trabajando en marcos de coordenadas (llamadas coordenadas holonómicas ) donde la torsión desaparece. Por ejemplo, en los espacios euclidianos , los símbolos de Christoffel describen cómo cambian las bases de coordenadas locales de un punto a otro.
En cada punto de la variedad n- dimensional subyacente , para cualquier sistema de coordenadas local alrededor de ese punto, los símbolos de Christoffel se denotan Γ i jk para i , j , k = 1, 2, ..., n . Cada entrada de esta matriz n × n × n es un número real . Bajo transformaciones de coordenadas lineales en la variedad, los símbolos de Christoffel se transforman como los componentes de un tensor , pero bajo transformaciones de coordenadas generales ( difeomorfismos ) ellos no. La mayoría de las propiedades algebraicas de los símbolos de Christoffel se derivan de su relación con la conexión afín; sólo unos pocos se siguen del hecho de que el grupo de estructura es el grupo ortogonal O ( m , n ) (o el grupo de Lorentz O (3, 1) para la relatividad general).
Los símbolos de Christoffel se utilizan para realizar cálculos prácticos. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se puede expresar completamente en términos de los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales . En relatividad general , la conexión juega el papel del campo de fuerza gravitacional con el potencial gravitacional correspondiente siendo el tensor métrico. Cuando el sistema de coordenadas y el tensor métrico comparten alguna simetría, muchos de los Γ i jk son cero .
Las definiciones dadas a continuación son válidos para ambas variedades de Riemann y colectores pseudoriemanniana , tales como los de la relatividad general , con distinción cuidadosa que se realizan entre los índices superiores e inferiores ( contra-variante y co-variantes índices). Las fórmulas son válidas para cualquier convención de signos , a menos que se indique lo contrario.
En este artículo se utiliza la convención de suma de Einstein , con los vectores indicados en negrita. Los coeficientes de conexión de la conexión Levi-Civita (o conexión pseudo-Riemanniana) expresados en una base de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel .