En matemáticas , una función localmente constante es una función de un espacio topológico a un conjunto con la propiedad de que alrededor de cada punto de su dominio, existe algún vecindario de ese punto en el que se restringe a una función constante .
Definición
Dejar ser una función de un espacio topológico en un set Si luego se dice que es localmente constante ensi existe un barrio de tal que es constante en que por definición significa que para todos La función se llama localmente constante si es localmente constante en cada punto en su dominio.
Ejemplos de
Cada función constante es localmente constante. Lo contrario se mantendrá si su dominio es un espacio conectado .
Cada función localmente constante de los números reales a es constante, por la conexión de Pero la funcion de los racionales a definido por y es localmente constante (esto usa el hecho de que es irracional y que, por lo tanto, los dos conjuntos y ambos están abiertos en).
Si es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conectado deLo contrario es cierto para los espacios conectados localmente , que son espacios cuyos componentes conectados son subconjuntos abiertos.
Otros ejemplos incluyen los siguientes:
- Dado un mapa de cobertura luego a cada punto podemos asignar la cardinalidad de la fibra encima esta asignación es localmente constante.
- Un mapa de un espacio topológico a un espacio discreto es continuo si y solo si es localmente constante.
Conexión con la teoría de la gavilla
Hay haces de funciones localmente constantes en Para ser más definido, las funciones de valor entero localmente constantes en Forman una gavilla en el sentido de que para cada conjunto abierto de podemos formar las funciones de este tipo; y luego verificar que los axiomas de la gavilla son válidos para esta construcción, dándonos una gavilla de grupos abelianos (incluso anillos conmutativos ). Esta gavilla podría escribirse; descrito por medio de tallos tenemos tallo una copia de a para cada Esto se puede referir a un haz constante , es decir, exactamente un haz de funciones localmente constantes que toman sus valores en el (mismo) grupo. La gavilla típica, por supuesto, no es constante de esta manera; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de las gavillas con la teoría de la homología y en las aplicaciones lógicas de las gavillas. La idea del sistema de coeficientes locales es que podemos tener una teoría de las poleas que localmente se parecen a esas gavillas `` inofensivas '' (cerca de cualquier), pero desde un punto de vista global muestran algunas 'torsiones'.
Ver también
- Teorema de Liouville (análisis complejo) - Teorema en análisis complejo