Construcción con regla y compás
La construcción con regla y compás , también conocida como construcción con regla y compás o construcción clásica , es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas usando solo una regla idealizada y un compás .
Se supone que la regla idealizada, conocida como regla , tiene una longitud infinita, solo tiene un borde y no tiene marcas. Se supone que la brújula no tiene un radio máximo o mínimo, y se supone que se "colapsa" cuando se levanta de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, utilizando un procedimiento de varios pasos, se puede transferir una distancia incluso con una brújula colapsada; consulte el teorema de equivalencia de la brújula . Tenga en cuenta, sin embargo, que si bien una brújula que no colapsa sostenida contra una regla puede parecer equivalente a marcándolo, la construcción neusis sigue siendo inadmisible y esto es lo que realmente significa sin marcar: consulte Reglas marcablesabajo.) Más formalmente, las únicas construcciones permisibles son aquellas concedidas por los primeros tres postulados de Euclides .
Resulta ser el caso de que cada punto construible usando regla y compás también puede construirse usando solo compás , o solo con regla si se le da un solo círculo y su centro.
Los antiguos matemáticos griegos concibieron por primera vez construcciones con regla y compás, y una serie de problemas antiguos en geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles pero que la mayoría no lo son. Pierre Wantzel demostró que algunos de los problemas de regla y compás más famosos eran imposibles en 1837, utilizando la teoría matemática de campos .
A pesar de las pruebas de imposibilidad existentes , algunos persisten en intentar solucionar estos problemas. [1] Muchos de estos problemas se pueden resolver fácilmente siempre que se permitan otras transformaciones geométricas: por ejemplo, es posible duplicar el cubo usando construcciones geométricas, pero no usando solo regla y compás.
En términos de álgebra , una longitud es construible si y solo si representa un número construible , y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y solo si puede escribirse usando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas pero no de raíces de orden superior.
