En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un metrizable (resp. Pseudometrizable ) espacio vectorial topológico (TVS) es un TVS cuya topología es inducida por una métrica (resp. Pseudometric ). Un espacio LM es un límite inductivo de una secuencia de TVS metrizables localmente convexos .
Pseudometría y métricas
Un pseudométrico en un set. es un mapa satisfaciendo las siguientes propiedades:
- ;
- Simetría :;
- Subaditividad :
Una pseudométrica se llama métrica si satisface:
- Identidad de indiscernibles : para todos Si luego
- Ultrapseudométrico
Una pseudometrica en se llama ultrapseudométrico o pseudométrico fuerte si satisface:
- Desigualdad de triángulo fuerte / ultramétrico :
- Espacio pseudométrico
Un espacio pseudométrico es un par que consta de un conjunto y un pseudometrico en tal que La topología de es idéntica a la topología en Inducido por A un espacio pseudométrico lo llamamos un espacio métrico (resp. espacio ultrapseudométrico ) cuando es una métrica (resp. ultrapseudométrica).
Topología inducida por una pseudometría
Si es un pseudometrico en un set luego colección de bolas abiertas :
- Convención : Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico , entonces, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por
- Espacio pseudometrizable
Un espacio topológico se llama pseudometrizable (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) si existe un pseudometrizable (resp. métrico, ultrapseudométrico) en tal que es igual a la topología inducida por [1]
Pseudometría y valores en grupos topológicos
Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, denominada topología de grupo , bajo la cual la adición y la negación se convierten en operadores continuos.
Una topología en un espacio vectorial real o complejo se llama topología vectorial o topología TVS si hace que las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si haceen un espacio vectorial topológico ).
Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo en son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la adición y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorialpuede fallar al hacer que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, la topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no hacen que la multiplicación escalar sea continua.
Pseudometría invariante de traducción
Si es un grupo aditivo, entonces decimos que un pseudometrico en es invariante en la traducción o simplemente invariante si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
Valor / G-seminorm
Si es un grupo topológico el valor a o G-seminorm en(la G significa Grupo) es un mapa de valor realcon las siguientes propiedades: [2]
- No negativo :
- Subaditivo :;
- Simétrico :
donde llamamos G-seminorm una G-norma si satisface la condición adicional:
- Total / positivo definido : Si luego
Propiedades de los valores
Si es un valor en un espacio vectorial luego:
Equivalencia en grupos topológicos
Teorema [2] : suponga quees un grupo conmutativo aditivo. Si es una traducción pseudométrica invariante en luego el mapa es un valor en llamado el valor asociado con, y además, genera una topología de grupo en (es decir, el -topología en hace en un grupo topológico). Por el contrario, si es un valor en luego el mapa es un pseudométrico invariante a la traducción en y el valor asociado con es solo
Grupos topológicos pseudometrizables
Teorema [2] - Sies un grupo topológico conmutativo aditivo , entonces los siguientes son equivalentes:
- es inducida por una pseudometría; (es decir es pseudometrizable);
- es inducida por una pseudometría invariante en la traducción;
- el elemento de identidad en Tiene una base de barrio contable.
Si es Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrica" en la declaración anterior puede ser reemplazada por la palabra "métrica". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y solo si es de Hausdorff y pseudometrizable.
Una pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial
Dejar ser un no trivial (es decir ) espacio vectorial real o complejo y dejar ser la métrica trivial invariante a la traducción en definido por y tal que La topologia que induce en es la topología discreta , que haceen un grupo topológico conmutativo bajo adición, pero no forma una topología vectorial en porque está desconectado pero todas las topologías vectoriales están conectadas. Lo que falla es que la multiplicación escalar no es continua en
Este ejemplo muestra que una (pseudo) métrica invariante en la traducción no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que nos lleva a definir paranormas y F -seminormas.
Secuencias aditivas
Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditivo [5] si para cada existe algo tal que
Continuidad de la suma en 0 - Sies un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología en y está dotado de la topología del producto , luego el mapa de adición (es decir, el mapa ) es continuo en el origen de si y solo si el conjunto de vecindarios del origen enes aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto". [5]
Por consiguiente, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente agradable de que definen funciones subaditivas continuas no negativas de valor real . Estas funciones pueden usarse para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un TVS de Hausdorff con una base contable de vecindarios es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para grupos topológicos aditivos conmutativos .
Teorema - Sea ser una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos Para todos dejar
Definir por Si y de lo contrario deja
Luego es subaditivo (que significa) y en así que en particular Me caigo son conjuntos simétricos entonces y si todo están equilibrados entonces para todos los escalares tal que y todo Si es un espacio vectorial topológico y si todos son barrios del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindarios equilibrados del origen en luego es una métrica que define la topología vectorial en
Prueba |
---|
Asumir que siempre denota una secuencia finita de enteros no negativos y usa la notación: Para cualquier número entero y De esto se sigue que si consiste en distintos enteros positivos entonces Ahora se mostrará por inducción en eso si consta de enteros no negativos tales que por algún entero luego Esto es claramente cierto para y así que asume que lo que implica que todos son positivas. Me caigo son distintos, entonces este paso está hecho y, de lo contrario, elija índices distintos tal que y construir de reemplazando cada con y borrando el elemento de (todos los demás elementos de son transferidos a sin alterar). Observa eso y (porque ) así que apelando a la hipótesis inductiva llegamos a la conclusión de que como se desee. Está claro que y eso así que para demostrar eso es subaditivo, basta para demostrar que Cuándo son tales que lo que implica que Este es un ejercicio. Me caigo son simétricos entonces si y solo si de lo que se sigue que y Me caigo están equilibrados entonces la desigualdad para todos los escalares unitarios tal que se prueba de manera similar. Porque es una función subaditiva no negativa que satisface como se describe en el artículo sobre funciones sublineales , es uniformemente continuo en si y solo si es continuo en el origen. Me caigo son vecindarios del origen entonces para cualquier real elige un número entero tal que así que eso implica Si el conjunto de todos forman la base de vecindades equilibradas del origen, entonces se puede demostrar que para cualquier existe algo tal que implica |
Paranormas
Si es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos, luego un paranorm en es un G-seminorm (definido anteriormente) en que satisfaga cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ": [6]
- Continuidad de la multiplicación : si es un escalar y son tales que y luego
- Ambas condiciones:
- Si y si es tal que luego ;
- Si luego por cada escalar
- Ambas condiciones:
- Si y para algunos escalares luego ;
- Si luego
- Continuidad separada : [7]
- Si para algunos escalares luego para cada ;
- Si es un escalar, y luego .
Un paranorm se llama total si además satisface:
- Total / positivo definido : implica
Propiedades de los paranormas
Si es un paranorm en un espacio vectorial luego el mapa definido por es un pseudométrico invariante a la traducción en que define una topología vectorial en[8]
Si es un paranorm en un espacio vectorial luego:
- el conjunto es un subespacio vectorial de [8]
- con [8]
- Si un paranorm satisface y escalares luego es absolutamente homogeneidad (es decir, se mantiene la igualdad) [8] y, por lo tanto,es un seminario .
Ejemplos de paranormas
- Si es una pseudométrica invariante en la traducción en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir es un televisor) luego el mapa define un paranorm continuo en ; además, la topología que este paranorm define en es [8]
- Si es un paranorm en entonces también lo es el mapa [8]
- Cada múltiplo escalar positivo de un paranorm (resp. Paranorm total) es nuevamente tal paranorm (resp. Paranorm total).
- Cada seminorma es un paranorm. [8]
- La restricción de un paranorm (resp. Paranorm total) a un subespacio vectorial es un paranorm (resp. Paranorm total). [9]
- La suma de dos paranormas es una paranorma. [8]
- Si y son paranormas en entonces asi es Es más, y Esto hace que el conjunto de paranormas en una celosía condicionalmente completa . [8]
- Cada uno de los siguientes mapas de valor real son paranormas en :
- Los mapas de valor real y no son paranormas en[8]
- Si es una base de Hamel en un espacio vectorial luego el mapa de valor real que envía (donde todos menos un número finito de los escalares son 0) a es un paranorm en que satisface para todos y escalares [8]
- La función es un paranorm en que no está equilibrado pero, no obstante, equivalente a la norma habitual sobre Tenga en cuenta que la función es subaditivo. [10]
- Dejar ser un espacio vectorial complejo y dejar denotar considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier paranorm en es también un paranorm en [9]
F -seminormas
Si es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos, luego una F -minorma en (la significa Fréchet ) es un mapa de valor realcon las siguientes propiedades: [11]
- No negativo :
- Subaditivo :;
- Equilibrado : para todos y todos los escalares satisfactorio ;
- Esta condición garantiza que cada conjunto del formulario o para algunos está equilibrado .
- para cada como
- La secuencia puede ser reemplazado por cualquier secuencia positiva que converja a 0. [12]
Una semifinal F se llama norma F si además satisface:
- Total / positivo definido : implica
Una F -minorma se llama monótona si satisface:
- Monótono : para todos los distintos de cero y todo real y tal que [12]
F -seminormed espacios
Un espacio con F -minormed (resp. F -espacio con nomenclatura ) [12] es un par que consiste en un espacio vectorial y una F -minorma (resp. F -norm) en
Si y son espacios con F -minormed y luego un mapase llama incrustación isométrica [12] si
Cada incrustación isométrica de un espacio semiformado en F en otro es una incrustación topológica , pero lo contrario no es cierto en general. [12]
Ejemplos de F -seminormas
- Todo múltiplo escalar positivo de una F- semifinal (resp. F -norm, seminorm) es nuevamente una F- semifinal (resp. F -norm, seminorm).
- La suma de un número finito de F -seminormas (resp. F -normas) es una F -seminorma (resp. F -norm).
- Si y son F -seminormas en entonces también lo es su supremum puntiagudo Lo mismo es cierto para el supremo de cualquier familia finita no vacía de F -seminormas en[12]
- La restricción de una F -seminorma (resp. F -norm) a un subespacio vectorial es una F -seminorma (resp. F -norm). [9]
- Una función de valor real no negativo en es una seminorma si y solo si es una convexa F -minorma, o de manera equivalente, si y solo si es una convexa equilibrada G -minorma. [10] En particular, toda seminorma es una F- seminorma.
- Para cualquier el mapa en definido por es una norma F que no es una norma.
- Si es un mapa lineal y si es una F -minorma en luego es una F -minorma en[12]
- Dejar ser un espacio vectorial complejo y dejar denotar considerado como un espacio vectorial sobre Cualquier F -minorma enes también una F -minorma en[9]
Propiedades de F -seminormas
Cada F- seminorma es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna F -minorma. [7] Cada F- semifinal en un espacio vectorial es un valor en En particular, y para todos
Topología inducida por una única F- semifinal
Teorema [11] - Seaser una F -minorma en un espacio vectorial Entonces el mapa definido por es una traducción pseudométrica invariante en que define una topología vectorial en Si es una F -norm entonceses una métrica. Cuándo está dotado de esta topología entonces es un mapa continuo en
Los conjuntos equilibrados como rangos sobre los reales positivos, forman una base de vecindad en el origen de esta topología que consiste en un conjunto cerrado. Del mismo modo, los conjuntos equilibrados como rangos sobre los reales positivos, forman una base de vecindad en el origen de esta topología que consta de conjuntos abiertos.
Topología inducida por una familia de F -seminormas
Suponer que es una colección no vacía de F -minormas en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier dejar
El conjunto forma una base de filtro en que también forma una base de vecindad en el origen de una topología vectorial en denotado por [12] Cada unoes un subconjunto equilibrado y absorbente de[12] Estos conjuntos satisfacen [12]
- es la topología vectorial más burda en haciendo cada uno continuo. [12]
- es Hausdorff si y solo si para cada valor distinto de cero existe algo tal que [12]
- Si es el conjunto de todas las semiformas F continuas en luego [12]
- Si es el conjunto de todo suprema puntual de subconjuntos finitos no vacíos de de luego es una familia dirigida de F -seminormas y[12]
Combinación Fréchet
Suponer que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial
La combinación Fréchet [8] de se define como el mapa de valor real
Como una F -minorma
Asumir que es una secuencia creciente de seminormas en y deja ser la combinación de Fréchet de Luego es una F -minorma en que induce la misma topología localmente convexa que la familia de seminormas. [13]
Desde está aumentando, una base de vecindarios abiertos del origen consta de todos los conjuntos de la forma como rangos sobre todos los enteros positivos y abarca todos los números reales positivos.
La traducción invariante pseudométrica eninducida por esta F -minorma es
Esta métrica fue descubierta por Fréchet en su tesis de 1906 para los espacios de secuencias reales y complejas con operaciones puntuales. [14]
Como un paranorm
Si cada es un paranorm entonces también lo es y además, induce la misma topología en como la familia de paranormas. [8] Esto también se aplica a las siguientes paranormas en:
- [8]
- [8]
Generalización
La combinación de Fréchet se puede generalizar mediante el uso de una función de remetrización limitada.
Una función de remetrización limitada [15] es un mapa continuo no negativo no decrecienteque es subaditivo (es decir para todos tiene un rango limitado y satisface si y solo si
Ejemplos de funciones de remetrización limitadas incluyen y [15] Si es un pseudométrico (resp. métrico) en y es una función de remetrización limitada, entonces es una pseudométrica acotada (resp. métrica acotada) en que es uniformemente equivalente a [15]
Suponer que es una familia de F -seminormas no negativas en un espacio vectorial } es una función de remetrización limitada, y es una secuencia de números reales positivos cuya suma es finita. Luego
Caracterizaciones
De (pseudo) métricas inducidas por (semi) normas
Una pseudométrica (resp. Métrica) es inducida por una seminorma (respectivamente norma) en un espacio vectorial si y solo si es la traducción invariante y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todo en cuyo caso la función definida por es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por es igual a
De televisores pseudometrizables
Si es un espacio vectorial topológico (TVS) (donde tenga en cuenta en particular quese supone que es una topología vectorial), entonces los siguientes son equivalentes: [11]
- es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial es inducida por una pseudometría en ).
- Tiene un barrio base contable en el origen.
- La topología en es inducida por una pseudométrica invariante a la traducción en
- La topología en es inducida por una F -minorma.
- La topología en es inducida por un paranorm.
De televisores metrizables
Si es un TVS, los siguientes son equivalentes:
- es metrizable.
- es Hausdorff y pseudometrizable.
- es Hausdorff y tiene una base vecinal contable en el origen. [11] [12]
- La topología en es inducida por una métrica invariante a la traducción en [11]
- La topología en es inducida por una F -norm. [11] [12]
- La topología en es inducida por una monótona F- norma. [12]
- La topología en es inducida por un paranorm total.
Teorema de Birkhoff-Kakutani - Sies un espacio vectorial topológico, entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes: [17] [nota 1]
- El origen está cerrado en y hay una base contable de vecindarios para en
- es metrizable (como espacio topológico).
- Hay una métrica invariante en la traducción en que induce a la topología cuál es la topología dada en
Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante en la traducción.
De televisores pseudometrizables localmente convexos
Si es TVS, los siguientes son equivalentes: [13]
- es localmente convexa y pseudometrizable.
- tiene una base de vecindad contable en el origen que consta de conjuntos convexos.
- La topología de es inducida por una familia contable de seminormas (continuos).
- La topología de es inducida por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas) (aumentar significa que para todos
- La topología de es inducida por una F -minorma de la forma: dónde son seminormes (continuos) en [18]
Cocientes
Dejar ser un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico
- Si es un TVS pseudometrizable, entonces también lo es [11]
- Si es un completo TVS pseudometrizable y es un subespacio vectorial cerrado de luego Esta completo. [11]
- Si es TVS metrizable y es un subespacio vectorial cerrado de luego es metrizable. [11]
- Si es una F -minorma en luego el mapa definido por es una F -minorma en que induce la topología cociente habitual en [11] Si ademáses una F -norm en y si es un subespacio vectorial cerrado de luego es una F -norm en[11]
Ejemplos y condiciones suficientes
- Cada espacio seminorizado es pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por para todos [19] .
- Si es TVS pseudométrica con una traducción pseudométrica invariante luego define un paranorm. [20] Sin embargo, si es una traducción pseudométrica invariante en el espacio vectorial (sin la condición adicional de que es TVS pseudométrica ), entoncesno es necesario que sea una F- semifinal [21] ni una paranorma.
- Si un TVS tiene una vecindad limitada del origen, entonces es pseudometrizable; lo contrario es en general falso. [14]
- Si un TVS de Hausdorff tiene una vecindad limitada del origen, entonces es metrizable. [14]
- Suponer es un espacio DF o un espacio LM . Sies un espacio secuencial, entonces es metrizable o bien un espacio Montel DF.
Si ¿Son los televisores localmente convexos de Hausdorff? con la topología fuerte , es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algún elemento de [22]
El fuerte espacio dual de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet [23] )es un espacio DF . [24] El fuerte dual de un espacio DF es un espacio Fréchet . [25] El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico . [24] El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. [26] Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces su fuerte dual tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornológico , (2) infrabarreled , (3) barreled . [26]
Normabilidad
Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene una vecindad del origen acotada convexa . Además, un TVS es normable si y solo si es Hausdorff y seminormable. [14] Cada TVS metrizable en un espacio vectorial de dimensión finita es un TVS completo localmente convexo normalizable , siendo TVS-isomorfo al espacio euclidiano . En consecuencia, cualquier TVS metrizable que no sea normable debe tener una dimensión infinita.
Si es un TVS localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonceses normable. [27]
Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes:
- es normable .
- tiene una vecindad delimitada (von Neumann) del origen.
- el fuerte espacio dual de es normable. [28]
y si este espacio localmente convexo también es metrizable, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:
- el fuerte espacio dual de es metrizable. [28]
- el fuerte espacio dual de es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . [23]
En particular, si un espacio convexo localmente metrizable (como un espacio Fréchet ) no es normable, entonces su fuerte espacio dual no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es metrizable ni normalizable.
Otra consecuencia de esto es que si es un TVS reflexivo localmente convexo cuyo fuerte dual es metrizable entonces es necesariamente un espacio reflexivo de Fréchet, es un espacio DF , tanto y son espacios palmeados distinguidos ultrabornológicos de Hausdorff necesariamente completos , y además, es normable si y solo si es normable si y solo si es Fréchet – Urysohn si y solo si es metrizable. En particular, tal espacioes un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet-Urysohn.
Conjuntos delimitados métricamente y conjuntos delimitados
Suponer que es un espacio pseudométrico y El conjunto está acotado métricamente o-limitado si existe un número real tal que para todos ; el más pequeño comoentonces se llama diámetro o-diámetro de[14] Siestá delimitado en un televisor pseudometrizableentonces está acotado métricamente; lo contrario es en general falso, pero es cierto para TVS metrizables localmente convexos . [14]
Propiedades de los televisores pseudometrizables
Teorema [29] - Todos los TVS metrizables completos separables de dimensión infinita son homeomórficos .
- Cada TVS localmente convexo metrizable es un espacio cuasibarrelizado , [30] espacio bornológico y un espacio Mackey .
- Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y, por lo tanto, no escaso). [31] Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no están completos . [31]
- Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el fuerte dual de es bornológico si y sólo si tiene cañón , si y sólo si es infrabarreado . [26]
- Si es un completo TVS pseudometrizable y es un subespacio vectorial cerrado de luego Esta completo. [11]
- El fuerte dual de un televisor metrizable localmente convexo es un espacio reticulado . [32]
- Si y son televisores metrizables completos (es decir , espacios F ) y si es más grueso que luego ; [33] Ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos televisores metrizables no está completo. [34] Dicho de otra manera, si y son espacios F pero con topologías diferentes, entonces ninguno de los y contiene el otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que sies un espacio de Banach y es algún otro espacio normado cuya topología inducida por normas es más fina que (o alternativamente, más tosca que) la de (es decir, si o si por alguna constante ), entonces la única forma en que puede ser un espacio de Banach (es decir, también estar completo) es si estas dos normas y son equivalentes ; si no son equivalentes, entoncesno puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si es un espacio de Banach y es un espacio de Fréchet , entonces el mapa es continuo si y solo si el espacio Fréchet son los televisores (aquí, el espacio Banach está siendo considerado como un TVS, lo que significa que su norma se " olvida " pero se recuerda su topología).
- Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y sólo si su fuerte espacio dual es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . [23]
- Cualquier producto de televisores metrizables completos es un espacio de Baire . [31]
- Un producto de TVS metrizables es metrizable si y solo si todos, pero como mucho, muchos de estos TVS tienen dimensiones [35]
- Un producto de TVS pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, pero como mucho, muchos de estos TVS tienen la topología trivial.
- Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y, por lo tanto, no escaso). [31]
- La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. [35]
Lo completo
Todo espacio vectorial topológico (y más en general, un grupo topológico ) tiene una estructura canónica uniforme , inducida por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si es un TVS metrizable y es una métrica que define topología, entonces es posible que está completo como un TVS (es decir, en relación con su uniformidad) pero la métrica no es una métrica completa (tales métricas existen incluso para). Por tanto, si es un TVS cuya topología es inducida por un pseudométrico entonces la noción de completitud de (como TVS) y la noción de integridad del espacio pseudométrico no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes:
Teorema - Sies un TVS pseudometrizable cuya topología es inducida por una traducción pseudométrica invariante luego es una pseudométrica completa en si y solo si está completo como TVS. [36]
Teorema [37] [38] (Klee) - Seaser cualquier métrica [nota 2] en un espacio vectorial tal que la topología Inducido por en hace en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un completo-TVS.
Teorema - Si es un TVS cuya topología es inducida por un paranorm luego está completo si y solo si para cada secuencia en Si luego converge en [39]
Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo luego el espacio del cociente Esta completo. [40] Sies un subespacio vectorial completo de un televisor metrizable y si el espacio del cociente está completo, entonces también lo está [40] Si no está completo entonces pero no completo, subespacio vectorial de
Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y solo si es cósmico. [23]
Subconjuntos y subsecuencias
- Dejar ser un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y dejarsea su finalización. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que [41]
- Cada subconjunto totalmente delimitado de un televisor metrizable localmente convexoestá contenido en el casco equilibrado convexo cerrado de alguna secuencia en que converge a
- En un televisor pseudometrizable, cada bornívoro es un barrio del origen. [42]
- Si es una métrica invariante de traslación en un espacio vectorial luego para todos y cada entero positivo [43]
- Si es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un TVS metrizable, entonces existe una secuencia de números reales positivos que divergen a tal que [43]
- Un subconjunto de un espacio métrico completo se cierra si y solo si está completo. Si un espacio no está completo, entonces es un subconjunto cerrado de eso no está completo.
- Si es un TVS localmente convexo metrizable para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado en tal que y ambos y el espacio auxiliar normado inducir la misma topología subespacial en[44]
Teorema de Banach-Saks [45] - Sies una secuencia en un TVS metrizable localmente convexoque converge débilmente a algunos entonces existe una secuencia en tal que en y cada es una combinación convexa de un número finito
Condición de contabilidad de Mackey [14] - Suponga que es un TVS metrizable localmente convexo y que es una secuencia contable de subconjuntos acotados de Entonces existe un subconjunto acotado de y una secuencia de números reales positivos tales que para todos
Mapas lineales
Si es un TVS pseudometrizable y mapea subconjuntos delimitados de a subconjuntos acotados de luego es continuo. [14] Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier TVS pseudometrizable de dimensión infinita. [46] Por lo tanto, un TVS pseudometrizable es de dimensión finita si y solo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual algebraico . [46]
Si es un mapa lineal entre televisores y es metrizable, entonces los siguientes son equivalentes:
- es continuo;
- es un mapa delimitado (localmente) (es decir, mapas (von Neumann) subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de ); [12]
- es secuencialmente continuo ; [12]
- la imagen debajo de cada secuencia nula en es un conjunto acotado [12] donde, por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
- asigna secuencias nulas a secuencias nulas;
- Mapas abiertos y casi abiertos
- Teorema : Si es un televisor pseudometrizable completo, es un televisor de Hausdorff, y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto. [47]
- Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexoen un espacio barrenado (p. ej., cada espacio pseudometrizable completo está barrido) luego está casi abierto . [47]
- Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS en un espacio de Baire luego está casi abierto. [47]
- Teorema : suponga es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo en televisores de Hausdorff Si la imagen de no es magro en luego es un mapa abierto sobreyectivo y Es un espacio completo metrizable. [47]
Propiedad de extensión de Hahn-Banach
Un subespacio vectorial de un televisor tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en se puede ampliar a un funcional lineal continuo en [22] Diga que un televisortiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial detiene la propiedad de extensión. [22]
El teorema de Hahn-Banach garantiza que cada espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para televisores metrizables completos, existe lo contrario:
Teorema (Kalton) : todos los televisores metrizables completos con la propiedad de extensión Hahn-Banach son localmente convexos. [22]
Si un espacio vectorial tiene una dimensión incontable y si lo dotamos de la mejor topología vectorial, entonces este es un TVS con el HBEP que no es ni localmente convexo ni metrizable. [22]
Ver también
- Norma asimétrica : generalización del concepto de norma
- Espacio métrico completo - Geometría métrica
- Espacio vectorial topológico completo : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Equivalencia de métricas
- Espacio F: espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
- Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio métrico : conjunto matemático que define la distancia
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Espacio pseudométrico - Generalización de espacios métricos en matemáticas
- Relación de normas y métricas
- Seminorm
- Función sublineal
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Espacio uniforme: espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
- Teorema de Ursescu : teorema que generaliza simultáneamente el gráfico cerrado, el mapeo abierto y los teoremas de Banach-Steinhaus.
Notas
- ^ De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no usa las multiplicaciones escalares.
- ^ No se asume que sea invariante en la traducción.
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