Este artículo trata sobre las normas de los espacios vectoriales normativos . Para la teoría de campo, consulte Norma de campo . Para conocer los ideales, consulte Norma ideal . Para la teoría de grupos, consulte Norma (grupo) . Para conocer las normas de la teoría descriptiva de conjuntos, consulte Prewellordering .
Una pseudonorma o seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para otros vectores además del origen. [1] Un espacio vectorial con una norma específica se denomina espacio vectorial normalizado . De manera similar, un espacio vectorial con seminorma se denomina espacio vectorial seminormado .
5 Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos
6 Véase también
7 referencias
8 Bibliografía
Definición
Dado un espacio vectorial sobre un subcampo F de los números complejos una norma sobre es una función de valor real con las propiedades siguientes, donde denota el habitual valor absoluto de un escalar : [2]
Subaditividad / desigualdad triangular : para todos
Homogeneidad absoluta : para todos y todos los escalares
Definición positiva /Separación de puntos : para todossientonces
Debido a que la propiedad (2) implica que algunos autores reemplazan la propiedad (3) con la condición equivalente: para cada si y solo si
A seminorma en es una función que tiene propiedades (1) y (2) [3] de modo que, en particular, toda norma es también un seminorma (y por tanto también un sublineal funcional ). Sin embargo, existen seminormes que no son normas. Las propiedades (1) y (2) implican que si es una norma (o más generalmente, una seminorma) entonces y que también tiene la siguiente propiedad:
No negatividad : para todos
Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "norma", aunque esto no es necesario.
Normas equivalentes
Supongamos que p y q son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial Entonces p y q son llamados equivalente , si existen dos constantes reales c y C con c > 0 tal que para cada vector
Las Normas de p y q son equivalentes si y sólo si inducen la misma topología en [4] Cualquier dos normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes, pero esto no se extiende a infinito-dimensionales espacios. [4]
Notación
Si se da una norma en un espacio vectorial X , entonces la norma de un vector generalmente se denota encerrándola entre líneas verticales dobles: Esta notación también se usa a veces si p es solo una seminorma. Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de una norma, como se explica a continuación ), la notación con líneas verticales simples también está muy extendida.
En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, la doble barra de notación de norma se ingresa con la macro \|, que se representa como . La línea vertical doble que se usa para denotar líneas paralelas , operador paralelo y suma paralela se ingresa con y se representa como Aunque parecen similares, estas dos macros no deben confundirse ya que denota un corchete y denota un operador. Por tanto, su tamaño y los espacios a su alrededor no se calculan de la misma forma. De manera similar, la barra vertical única se codifica como cuando se usa como corchete y como cuando se usa como operador.\parallel\|\parallel|\mid
En Unicode , la representación del carácter de "doble línea vertical" es U + 2016 ‖ DOBLE LÍNEA VERTICAL . El símbolo de "línea vertical doble" no debe confundirse con el símbolo de "paralelo a", U + 2225 ∥ PARALELO A , que está destinado a denotar líneas paralelas y operadores paralelos. La doble línea vertical tampoco debe confundirse con U + 01C1 ǁ CLIC LATERAL EN LETRA LATINA , cuyo objetivo es denotar clics laterales en lingüística.
La única línea vertical | tiene una representación Unicode U + 007C | LÍNEA VERTICAL .
Ejemplos de
Todo espacio vectorial (real o complejo) admite una norma: si es una base de Hamel para un espacio vectorial X, entonces el mapa de valores reales que envía x = ∑ i ∈ I s i x i ∈ X (donde todos, excepto un número finito de escalares s i son 0) a ∑ i ∈ I | s i | es una norma en X . [5] También hay una gran cantidad de normas que exhiben propiedades adicionales que las hacen útiles para problemas específicos.
Norma de valor absoluto
El valor absoluto
es una norma sobre los espacios vectoriales unidimensionales formados por los números reales o complejos . [6]
Cualquier norma p en un espacio vectorial unidimensional X es equivalente (hasta el escalado) a la norma de valor absoluto, lo que significa que hay un isomorfismo de espacios vectoriales que preserva la norma donde es o y que preserva la norma significa que
se da este isomorfismo enviando a un vector de norma 1 , que existe ya que dicho vector se obtiene multiplicando cualquier vector distinto de cero por el inverso de su norma.
Norma euclidiana
Artículo principal: distancia euclidiana
En el espacio euclidiano n- dimensional , la noción intuitiva de longitud del vector x = ( x 1 , x 2 ,…, x n ) es capturada por la fórmula [7]
Ésta es la norma euclidiana, que da la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X, una consecuencia del teorema de Pitágoras . Esta operación también puede denominarse "SRSS", que es un acrónimo de s quare r oot del s um of s quares. [8]
La norma euclidiana es, con mucho, la norma más utilizada en [7], pero existen otras normas sobre este espacio vectorial, como se muestra a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología.
El producto interno de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal . Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir sin coordenadas como
La norma euclidiana también se llama norma L 2 , norma [9] ℓ 2 , norma 2 o norma cuadrada ; ver espacio L p . Define una función de distancia llamada longitud euclidiana , distancia L 2 o distancia ℓ 2 .
El conjunto de vectores en cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma una n -esfera .
Norma euclidiana de números complejos
La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamado módulo ) del mismo, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano Esta identificación del número complejo x + i y como un vector en el plano euclidiano, hace que el cantidad (como sugirió por primera vez Euler) la norma euclidiana asociada con el número complejo.
Cuaterniones y octoniones
Ver también: Quaternion y Octonion
Hay exactamente cuatro álgebras euclidianas de Hurwitz sobre los números reales . Estos son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y finalmente los octoniones donde las dimensiones de estos espacios sobre los números reales son 1 , 2 , 4 y 8 , respectivamente. Las normas canónicas sobre y son sus funciones de valor absoluto , como se discutió anteriormente.
La norma canónica de los cuaterniones está definida por
para cada cuaternión en Esto es lo mismo que la norma euclidiana considerada como el espacio vectorial De manera similar, la norma canónica sobre los octoniones es solo la norma euclidiana sobre
Espacios normativos complejos de dimensión finita
En un espacio complejo n- dimensional , la norma más común es
En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto interno del vector y él mismo:
donde se representa como un vector de columna ([ x 1 ; x 2 ;…; x n ]), y denota su transpuesta conjugada .
Esta fórmula es válida para cualquier espacio de producto interior , incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo . Por lo tanto, la fórmula en este caso también se puede escribir usando la siguiente notación:
Norma de taxis o norma de Manhattan
Artículo principal: geometría del taxi
El nombre se refiere a la distancia que tiene que recorrer un taxi en una cuadrícula de calles rectangular para llegar desde el origen hasta el punto x .
El conjunto de vectores cuya 1-norma es una constante dada forma la superficie de un politopo cruzado de dimensión equivalente a la de la norma menos 1. La norma del taxi también se llama la norma . La distancia derivada de esta norma se llama la distancia Manhattan o ℓ 1 distancia .
La norma 1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.
A diferencia de,
no es una norma porque puede producir resultados negativos.
p -norm
Artículo principal: espacio L p
Sea p ≥ 1 un número real. La p -norm (también llamada -norm) del vector es [7]
Para p = 1 , obtenemos la norma del taxi , [6] para p = 2 , obtenemos la norma euclidiana , y cuando p se acerca, la p -norm se acerca a la norma infinita o norma máxima :
La p -norm está relacionada con la media generalizada o media de potencia.
Esta definición sigue siendo de algún interés para 0 < p <1 , pero la función resultante no define una norma, [10] porque viola la desigualdad del triángulo . Lo que es cierto para este caso de 0 < p <1 , incluso en el análogo medible, es que la clase L p correspondiente es un espacio vectorial, y también es cierto que la función
(sin p- ésima raíz) define una distancia que convierte a L p ( X ) en un espacio vectorial topológico métrico completo . Estos espacios son de gran interés para el análisis funcional , la teoría de la probabilidad y el análisis armónico . Sin embargo, aparte de casos triviales, este espacio vectorial topológico no es localmente convexo y no tiene formas lineales continuas distintas de cero. Así, el espacio dual topológico contiene solo el funcional cero.
La derivada parcial de la p -norm está dada por
La derivada con respecto ax , por lo tanto, es
donde ∘ denota el producto de Hadamard y se usa para el valor absoluto de cada componente del vector.
Para el caso especial de p = 2 , esto se convierte en
o
Norma máxima (caso especial de: norma infinita, norma uniforme o norma suprema)
Artículo principal: Norma máxima
Si es algún vector tal que entonces:
El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, c , forma la superficie de un hipercubo con una longitud de borde 2 c .
Norma cero
En el análisis funcional y de probabilidad, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones mensurables y para el espacio F de secuencias con norma F [11]
Aquí entendemos por norma F alguna función de valor real en una F -espacio con distancia d , tal que
la F -norm descrita anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida.
Distancia de Hamming de un vector desde cero
Ver también: distancia de Hamming y métrica discreta
En geometría métrica , la métrica discreta toma el valor uno para puntos distintos y cero en caso contrario. Cuando se aplica por coordenadas a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming , que es importante en la codificación y la teoría de la información.. En el campo de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta a cero no es homogénea en el punto distinto de cero; de hecho, la distancia desde cero sigue siendo uno cuando su argumento distinto de cero se acerca a cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número a cero satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad del triángulo y la definición positiva. Cuando se aplica por componentes a los vectores, la distancia discreta desde cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos de cero en su argumento vectorial; de nuevo, esta "norma" no homogénea es discontinua.
En procesamiento de señales y estadísticas , David Donoho se refirió a la " norma " cero entre comillas. Siguiendo la notación de Donoho, la "norma" cero de x es simplemente el número de coordenadas distintas de cero de x , o la distancia de Hamming del vector desde cero. Cuando esta "norma" se localiza en un conjunto acotado, es el límite de p -normas cuando p se acerca a 0. Por supuesto, la "norma" cero no es verdaderamente una norma, porque no es homogénea positiva.. De hecho, ni siquiera es una norma F en el sentido descrito anteriormente, ya que es discontinua, conjunta y solidariamente, con respecto al argumento escalar en la multiplicación escalar-vector y con respecto a su argumento vectorial.
Abusando de la terminología , algunos ingenieros [ ¿quién? ] omiten las comillas de Donoho y llaman inapropiadamente a la función de número de no ceros la norma L 0 , haciéndose eco de la notación para el espacio de Lebesgue de funciones medibles .
Dimensiones infinitas
La generalización de las normas anteriores a un número infinito de los componentes conduce a ℓ p y L p espacios , con las normas
para secuencias de valores complejos y funciones en respectivamente, que se pueden generalizar aún más (ver medida de Haar ).
Cualquier producto interior induce de forma natural la norma
Otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita se pueden encontrar en el artículo sobre el espacio de Banach .
Normas compuestas
Se pueden construir otras normas combinando lo anterior; por ejemplo
es una norma en
Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva A podemos definir una nueva norma de x , igual a
En 2D, con A una rotación de 45 ° y una escala adecuada, esto cambia la norma del taxi a la norma máxima. Cada A aplicada a la norma del taxi, hasta la inversión e intercambio de ejes, da una bola unitaria diferente: un paralelogramo de una forma, tamaño y orientación particular.
En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 ( octaedros ) y la norma máxima ( prismas con base de paralelogramo).
Hay ejemplos de normas que no están definidas por fórmulas "de entrada". Por ejemplo, el funcional de Minkowski de un cuerpo convexo centralmente simétrico en (centrado en cero) define una norma en (ver § Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos más abajo).
Todas las fórmulas anteriores también producen normas sin modificaciones.
También existen normas sobre espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales .
En álgebra abstracta
Artículo principal: Norma de campo
Deje que E sea una extensión finita de un campo k de inseparables grado p μ , y dejar k tiene algebraica de cierre K . Si las distintas incrustaciones de E son { σ j } j , entonces la norma teórica de Galois de un elemento α ∈ E es el valor Como esa función es homogénea de grado [ E : k ] , la norma teórica de Galois no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, el [E : k ] -ésima raíz de la norma (asumiendo que el concepto tiene sentido), es una norma. [12]
Álgebras de composición
El concepto de norma en álgebra de la composición no no comparten las propiedades usuales de una norma, ya que puede ser negativo o cero para z ≠ composición 0. Un álgebra ( A , *, N ) consiste en un álgebra sobre un campo A , una involución * y una forma cuadrática que se llama "norma". N ( z ) = z z ∗ , {\displaystyle N(z)=zz^{*},}
El rasgo característico de álgebra de la composición es el homomorfismo característica de N : para el producto wz de dos elementos W y Z de la composición álgebra, sus satisface norma Por y O la norma composición álgebra es el cuadrado de la norma se discutió anteriormente. En esos casos, la norma es una forma cuadrática definida . En otras álgebras de composición, la norma es una forma cuadrática isotrópica .
Propiedades
Para cualquier norma en un espacio vectorial, la desigualdad del triángulo inverso se cumple:
Si es un mapa lineal continuo entre el espacio normado, entonces la norma de y la norma de la transpuesta de son iguales. [13]
Para las normas L p , tenemos la desigualdad de Hölder [14]
Un caso especial de esto es la desigualdad de Cauchy-Schwarz : [14]
Ilustraciones de círculos unitarios en diferentes normas.
Equivalencia
El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de la norma 1) es diferente en diferentes normas: para la norma 1, el círculo unitario es un cuadrado , para la norma 2 (norma euclidiana), es el conocido círculo unitario , mientras que para la norma infinita, es un cuadrado diferente. Para cualquier p -norm, es una superelipse con ejes congruentes (vea la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo unitario debe ser convexo y centralmente simétrico (por lo tanto, por ejemplo, la bola unitaria puede ser un rectángulo pero no un triángulo, y para una p -norm).
En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando la seminorma puede distinguir entre vectores distintos, lo que de nuevo es equivalente a que la seminorma sea una norma. La topología así definida (ya sea por una norma o una seminorma) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Se dice que una secuencia de vectores converge en norma si, como Equivalentemente, la topología consta de todos los conjuntos que se pueden representar como una unión de bolas abiertas . Si es un espacio normado entonces [15]
Dos normas y en un espacio vectorial se llamanequivalente si inducen la misma topología, [4] lo cual ocurre si y solo si existen números reales positivosCyDtales que para todos
Por ejemplo, si en entonces [16]
En particular,
Eso es,
Si el espacio vectorial es real o complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Por otro lado, en el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, no todas las normas son equivalentes.
Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos propósitos, no es necesario distinguirlas. Para ser más precisos, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa .
Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos
Artículo principal: Seminorm
Todas las seminormas en un espacio vectorial se pueden clasificar en términos de subconjuntos absorbentes absolutamente convexos A de A cada subconjunto corresponde una seminorma p A denominada calibre de A , definida como
donde 'inf' es el infimum , con la propiedad que
Por el contrario:
Cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base local que consta de conjuntos absolutamente convexos. Un método común para construir tal base es usar una familia ( p ) de seminormas p que separa puntos : la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos { p <1 / n } convierte el espacio en un espacio vectorial topológico localmente convexo de modo que cada p es continuo .
Este método se utiliza para diseñar topologías débiles y débiles * .
caso normativo:
Suponga ahora que ( p ) contiene una sola p : dado que ( p ) se está separando , p es una norma y es su bola unitaria abierta . Entonces A es una vecindad acotada absolutamente convexa de 0, y es continua.
Lo contrario se debe a Andrey Kolmogorov : cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y localmente limitado es normable . Precisamente:
Si es un vecindario acotado absolutamente convexo de 0, el indicador (por lo que es una norma.
Ver también
Norma asimétrica : generalización del concepto de norma
F-seminorm
Norma Gowers
Distancia de Mahalanobis
Magnitud (matemáticas)
Norma de la matriz - Norma sobre un espacio vectorial de las matrices
Distancia de Minkowski
Minkowski funcional
Norma de operador : medida del "tamaño" de los operadores lineales
Paranorm
Relación de normas y métricas
Seminorm
Función sublineal
Referencias
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localmente convexo
reflexivo
separable
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normal
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