En matemáticas , la convergencia débil en un espacio de Hilbert es la convergencia de una secuencia de puntos en la topología débil .
Definición
Una secuencia de puntosen un espacio de Hilbert, se dice que H converge débilmente a un punto x en H si
para todos y en H . Aquí,se entiende como el producto interior del espacio de Hilbert. La notación
a veces se utiliza para denotar este tipo de convergencia.
Propiedades
- Si una secuencia converge fuertemente (es decir, si converge en la norma), también converge débilmente.
- Dado que cada conjunto cerrado y acotado es débilmente relativamente compacto (su cierre en la topología débil es compacto), cada secuencia acotada en un espacio de Hilbert, H contiene una subsecuencia débilmente convergente. Tenga en cuenta que los conjuntos cerrados y acotados no son en general débilmente compactos en los espacios de Hilbert (considere el conjunto que consiste en una base ortonormal en un espacio de Hilbert infinitamente dimensional que está cerrado y acotado pero no débilmente compacto ya que no contiene 0). Sin embargo, los conjuntos delimitados y débilmente cerrados son débilmente compactos, por lo que cada conjunto cerrado delimitado convexo es débilmente compacto.
- Como consecuencia del principio de acotación uniforme , toda secuencia débilmente convergente está acotada.
- La norma es (secuencialmente) semicontinua débilmente inferior : siconverge débilmente ax , entonces
- y esta desigualdad es estricta siempre que la convergencia no sea fuerte. Por ejemplo, infinitas secuencias ortonormales convergen débilmente a cero, como se demuestra a continuación.
- Si converge débilmente a y tenemos la suposición adicional de que , luego converge a fuertemente:
- Si el espacio de Hilbert es de dimensión finita, es decir, un espacio euclidiano , entonces los conceptos de convergencia débil y convergencia fuerte son los mismos.
Ejemplo
El espacio Hilbert es el espacio de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo equipado con el producto interior definido por
(ver espacio L p ). La secuencia de funciones definido por
converge débilmente a la función cero en , como la integral
tiende a cero para cualquier función integrable al cuadrado en Cuándo va al infinito, que es por el lema de Riemann-Lebesgue , es decir
Aunque tiene un número creciente de ceros en como va al infinito, por supuesto no es igual a la función cero para cualquier . Tenga en cuenta que no converge a 0 en el o normas. Esta disimilitud es una de las razones por las que este tipo de convergencia se considera "débil".
Débil convergencia de secuencias ortonormales.
Considere una secuencia que fue construido para ser ortonormal, es decir,
dónde es igual a uno si m = n y cero en caso contrario. Afirmamos que si la secuencia es infinita, entonces converge débilmente a cero. Una prueba simple es la siguiente. Para x ∈ H , tenemos
donde la igualdad se cumple cuando { e n } es una base espacial de Hilbert. Por lo tanto
- (dado que la serie anterior converge, su secuencia correspondiente debe ir a cero)
es decir
Teorema de Banach-Saks
El teorema de Banach-Saks establece que toda secuencia acotada contiene una subsecuencia y un punto x tal que
converge fuertemente ax cuando N va al infinito.
Generalizaciones
La definición de convergencia débil se puede extender a los espacios de Banach . Una secuencia de puntosen un espacio de Banach B se dice que converge débilmente a un punto x en B si
para cualquier funcional lineal acotado definido en , es decir, para cualquier en el espacio dual . Sies un espacio Lp en, y entonces, cualquiera de esos tiene la forma
Para algunos dónde y es la medida en.
En el caso donde es un espacio de Hilbert, entonces, por el teorema de representación de Riesz ,
para algunos en , por lo que se obtiene la definición espacial de Hilbert de convergencia débil.