En las matemáticas , un espacio de convergencia , también llamada convergencia generalizada , es un conjunto, junto con una relación llamada convergencia que satisface ciertas propiedades relativas elementos de X con la familia de filtros en X . Los espacios de convergencia generalizan las nociones de convergencia que se encuentran en la topología de conjuntos de puntos , incluida la convergencia métrica y la convergencia uniforme. Todo espacio topológico da lugar a una convergencia canónica pero hay convergencias, conocidas como convergencias no topológicas., que no surgen de ningún espacio topológico. [1] Ejemplos de convergencias que en general no son topológicas incluyen la convergencia en la medida y la convergencia en casi todas partes . Muchas propiedades topológicas tienen generalizaciones a espacios de convergencia.
Además de su capacidad para describir nociones de convergencia que las topologías no pueden, la categoría de espacios de convergencia tiene una propiedad categórica importante de la que carece la categoría de espacios topológicos . La categoría de espacios topológicos no es una categoría exponencial (o equivalentemente, no es cartesiana cerrada ) aunque está contenida en la categoría exponencial de espacios pseudotopológicos , que es en sí misma una subcategoría de la categoría (también exponencial) de espacios de convergencia. [2]
Definición y notación
Preliminares y notación
Denota el conjunto de potencias de un conjunto. por El cierre ascendente o isotonización en[3] de una familia de subconjuntos Se define como
y de manera similar el cierre a la baja de es Si (resp. ) luego se dice que está cerrado hacia arriba (resp. cerrado hacia abajo ) en
Para cualquier familia y declarar que
- si y solo si para cada existe algo tal que
o de manera equivalente, si luego si y solo si La relación define un pedido anticipado en Si que por definición significa luego se dice que está subordinado a y también más fino que y se dice que es más tosco que La relación se llama subordinación . Dos familias y se llaman equivalentes ( con respecto a la subordinación ) Si y
Un filtro en un set es un subconjunto no vacío que está cerrado hacia arriba en cerrado bajo intersecciones finitas, y no tiene el conjunto vacío como un elemento (es decir, ). Un prefiltro es cualquier familia de conjuntos que es equivalente (con respecto a la subordinación) a algún filtro o, de manera equivalente, es cualquier familia de conjuntos cuyo cierre hacia arriba es un filtro. Una familiaes un prefiltro, también llamado base de filtro , si y solo si y para cualquier existe algo tal que Una subbase de filtro es cualquier familia de conjuntos no vacía con la propiedad de intersección finita ; de manera equivalente, es cualquier familia no vacía que está contenido como un subconjunto de algún filtro (o prefiltro), en cuyo caso el más pequeño (con respecto a o ) filtro que contiene se llama el filtro ( en) generado por. El conjunto de todos los filtros (resp. Prefiltros , subbases de filtro, ultrafiltros ) en será denotado por (resp. ). El filtro principal o discreto en en un punto es el filtro
Definición de espacios de (pre) convergencia
Para cualquier Si entonces define
y si entonces define
Así que si luego si y solo si El conjunto se llama el conjunto subyacente de y se denota por [1]
Una preconvergencia [1] [2] [4] en un conjunto no vacíoes una relación binaria con la siguiente propiedad:
- Isotono : si luego implica
- En palabras, cualquier punto límite de es necesariamente un punto límite de cualquier familia subordinada o más fina
y si además también tiene la siguiente propiedad:
- Centrado : si luego
- En palabras, para cada el ultrafiltro principal / discreto en converge a
luego la preconvergencia se llama convergencia [1] enUna convergencia generalizada o un espacio de convergencia (resp. Un espacio de preconvergencia ) es un par que consta de un conjunto junto con una convergencia (resp. preconvergencia) en [1]
Una preconvergencia puede extenderse canónicamente a una relación en también denotado por definiendo [1]
para todos Esta preconvergencia extendida será isotónica en lo que significa que si luego implica
Ejemplos de
Convergencia inducida por un espacio topológico
Dejar ser un espacio topológico con Si luego se dice que converge en un punto en escrito en Si dónde denota el filtro de vecindario de en El conjunto de todos tal que en se denota por o simplemente y los elementos de este conjunto se denominan puntos límite de en La convergencia ( canónica ) asociada o inducida por es la convergencia en denotado por definido para todos y todo por:
- si y solo si en
De manera equivalente, se define por para todos
Una (pre) convergencia que es inducida por alguna topología en se denomina (pre) convergencia topológica ; de lo contrario, se denomina (pre) convergencia no topológica .
Energía
Dejar y ser espacios topológicos y dejar denotar el conjunto de mapas continuos El poder con respecto a y es la topología más burda en que hace el acoplamiento natural en un mapa continuo [2] El problema de encontrar la energía no tiene solución a menos quees localmente compacto . Sin embargo, si se busca una convergencia en lugar de una topología, siempre existe una convergencia que resuelve este problema (incluso sin compacidad local). [2] En otras palabras, la categoría de espacios topológicos no es una categoría exponencial (es decir, o de manera equivalente, no es cartesiana cerrada ) aunque está contenida en la categoría exponencial de pseudotopologías , que es en sí misma una subcategoría de la (también exponencial) categoría de convergencias. [2]
Otros ejemplos nombrados
- Convergencia estándar en ℝ
- La convergencia estándar en la línea real es la convergencia en definido para todos y todo [1] por:
- si y solo si
- Convergencia discreta
- La preconvergencia discreta en el set no vacío está definido para todos y todo [1] por:
- si y solo si
- Una preconvergencia en es una convergencia si y solo si [1]
- Convergencia vacía
- La preconvergencia vacía en el set no vacío está definido para todos [1] por:
- Aunque es una preconvergencia en es no una convergencia de La preconvergencia vacía en es una preconvergencia no topológica porque para cada topología en el filtro de vecindad en cualquier punto dado necesariamente converge a en
- Convergencia caótica
- La preconvergencia caótica en el set no vacío está definido para todos [1] por: La caótica preconvergencia en es igual a la convergencia canónica inducida por Cuándo está dotado de la topología indiscreta .
Propiedades
Una preconvergencia en el set no vacío se llama Hausdorff o T 2 si es un conjunto singleton para todos [1] Se llama T 1 si para todos y se llama T 0 si para todos los distintos [1] Cadapreconvergencia T 1 en un conjunto finito es Hausdorff. [1] Todaconvergencia T 1 en un conjunto finito es discreta. [1]
Si bien la categoría de espacios topológicos no es exponencial (es decir, cartesiana cerrada ), se puede extender a una categoría exponencial mediante el uso de una subcategoría de espacios de convergencia. [2]
Ver también
- Espacio de Cauchy
- Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
- Filtro convergente
- Espacio de proximidad : una estructura que describe una noción de "proximidad" entre subconjuntos.
- Espacio topológico - Estructura matemática con noción de cercanía
Citas
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o Dolecki y Mynard 2016 , págs. 55-77.
- ↑ a b c d e f Dolecki , 2009 , págs. 1-51
- ^ Dolecki y Mynard , 2016 , págs. 27-29.
- ^ Dolecki y Mynard 2014 , págs. 1-25
Referencias
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Dolecki, Szymon (2009). Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott (eds.). "Una iniciación a la teoría de la convergencia" (PDF) . Más allá de la topología . Serie de matemáticas contemporáneas AMS 486 : 115–162 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2014). "Una teoría unificada de espacios funcionales e hiperespacios: propiedades locales" (PDF) . Houston J. Math . 40 (1): 285–318 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .