En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , un objeto exponencial o un objeto de mapa es la generalización categórica de un espacio funcional en la teoría de conjuntos . Las categorías con todos los productos finitos y objetos exponenciales se denominan categorías cerradas cartesianas . Las categorías (como las subcategorías de Top ) sin productos adjuntos aún pueden tener una ley exponencial . [1] [2]
Definición
Dejar ser una categoría, deja y ser objeto de, y deja tener todos los productos binarios con. Un objetojunto con un morfismo es un objeto exponencial si para cualquier objeto y morfismo hay un morfismo único (llamado la transposición de) de manera que el siguiente diagrama conmuta :
Esta asignación de un a cada establece un isomorfismo de hom-sets ,
Si existe para todos los objetos en , luego el functor definido en objetos por y en flechas por , es un adjunto derecho al functor de producto. Por esta razón, los morfismos y a veces se denominan adjuntos exponenciales entre sí. [3]
Definición ecuacional
Alternativamente, el objeto exponencial se puede definir mediante ecuaciones:
- Existencia de está garantizado por la existencia de la operación .
- La conmutatividad de los diagramas anteriores está garantizada por la igualdad .
- Unicidad de está garantizado por la igualdad .
Propiedad universal
El exponencial viene dado por un morfismo universal del functor de producto al objeto . Este morfismo universal consiste en un objeto y un morfismo .
Ejemplos de
En la categoría de conjuntos , un objeto exponencial es el conjunto de todas las funciones . [4] El mapaes solo el mapa de evaluación , que envía el par a . Para cualquier mapa el mapa es la forma al curry de:
Un álgebra de Heyting es solo una celosía acotada que tiene todos los objetos exponenciales. Heyting implicación,, es una notación alternativa para . Los resultados de la adjunción anteriores se traducen en implicaciones () estar justo al lado de reunirse (). Este adjunto se puede escribir como, o más completamente como:
En la categoría de espacios topológicos , el objeto exponencial existe siempre que es un espacio Hausdorff localmente compacto . En ese caso, el espacioes el conjunto de todas las funciones continuas de a junto con la topología compacta-abierta . El mapa de evaluación es el mismo que en la categoría de conjuntos; es continuo con la topología anterior. [5] Si no es Hausdorff localmente compacto, el objeto exponencial puede no existir (el espacio todavía existe, pero puede no ser un objeto exponencial ya que la función de evaluación no necesita ser continua). Por esta razón, la categoría de espacios topológicos deja de ser cartesiana cerrada. Sin embargo, la categoría de espacios topológicos localmente compactos tampoco es cerrada cartesiana, ya que no necesita ser localmente compacto para espacios localmente compactos y . Una categoría de espacios cerrados cartesianos está dada, por ejemplo, por la subcategoría completa abarcada por los espacios de Hausdorff generados de forma compacta .
En los lenguajes de programación funcionales , el morfismoa menudo se llamay la sintaxis a menudo se escribe. El morfismoaquí no debe confundirse con la función eval en algunos lenguajes de programación , que evalúa expresiones entre comillas.
Ver también
Notas
- ^ Ley exponencial para espacios en nLab
- ^ Categoría conveniente de espacios topológicos en nLab
- ^ Goldblatt, Robert (1984). "Capítulo 3: Flechas en lugar de épsilon". Topoi: el análisis categorial de la lógica . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics # 98 (Ed. Revisada). Holanda Septentrional . pag. 72. ISBN 978-0-444-86711-7.
- ^ Mac Lane, Saunders (1978). "Capítulo 4: Adjuntos". categorías para el matemático que trabaja . textos de posgrado en matemáticas. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 98. doi : 10.1007 / 978-1-4757-4721-8_5 . ISBN 978-0387984032.
- ^ Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (consulte el Capítulo 11 para obtener una prueba).
Referencias
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos) . John Wiley e hijos.
- Awodey, Steve (2010). "Capítulo 6: Exponenciales". Teoría de categorías . Oxford Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.
- MacLane, Saunders (1998). "Capítulo 4: Adjuntos". Categorías para el matemático en activo . Nueva York: Springer. ISBN 978-0387984032.
enlaces externos
- Página web interactiva que genera ejemplos de objetos exponenciales y otras construcciones categóricas. Escrito por Jocelyn Paine .