La invarianza del dominio es un teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano. . Afirma:
- Si U es un subconjunto abierto de y es un mapa continuo inyectivo , entonces V : = f ( U ) está abierto en y f es un homeomorfismo entre U y V .
El teorema y su demostración se deben a LEJ Brouwer , publicado en 1912. [1] La demostración utiliza herramientas de topología algebraica , en particular el teorema de punto fijo de Brouwer .
Notas
La conclusión del teorema se puede formular de manera equivalente como: " f es un mapa abierto ".
Normalmente, para comprobar que f es un homeomorfismo, habría que verificar que tanto f como su función inversa f −1 son continuas; el teorema dice que si el dominio es un subconjunto abierto de y la imagen también está en entonces la continuidad de f −1 es automática. Además, el teorema dice que si dos subconjuntos U y V deson homeomorfos y U está abierto, entonces V debe estar abierto también. (Tenga en cuenta que V está abierto como un subconjunto dey no solo en la topología del subespacio. La apertura de V en la topología subespacial es automática.) Ambas afirmaciones no son en absoluto obvias y, en general, no son ciertas si uno abandona el espacio euclidiano.
Es de crucial importancia que tanto el dominio como el rango de f estén contenidos en el espacio euclidiano de la misma dimensión . Considere, por ejemplo, el mapa f : (0,1) →definida por f ( t ) = ( t , 0) . Este mapa es inyectivo y continuo, el dominio es un subconjunto abierto de, pero la imagen no está abierta en Un ejemplo más extremo es el mapa g : (−1.1, 1) →definida por g ( t ) = ( t 2 - 1, t 3 - t ) porque aquí g es inyectiva y continua pero ni siquiera produce un homeomorfismo en su imagen.
El teorema tampoco es generalmente cierto en dimensiones infinitas. Considere, por ejemplo, el espacio de Banach l ∞ de todas las secuencias reales acotadas . Defina f : l ∞ → l ∞ como el desplazamiento f ( x 1 , x 2 , ...) = (0, x 1 , x 2 , ...) . Entonces f es inyectiva y continua, el dominio está abierto en l ∞ , pero la imagen no.
Consecuencias
Una consecuencia importante del teorema de invariancia de dominio es que no puede ser homeomorfo para si m ≠ n . De hecho, ningún subconjunto abierto no vacío de puede ser homeomorfo para cualquier subconjunto abierto de en este caso.
Generalizaciones
El teorema de invariancia de dominio puede generalizarse a variedades : si M y N son n- variedades topológicas sin límite yf : M → N es un mapa continuo que es localmente uno a uno (lo que significa que cada punto en M tiene una vecindad tal que f restringida a esta vecindad es inyectiva), entonces f es un mapa abierto (lo que significa que f ( U ) está abierto en N siempre que U es un subconjunto abierto de M ) y un homeomorfismo local .
También hay generalizaciones para ciertos tipos de mapas continuos desde un espacio de Banach a sí mismo. [2]
Ver también
- Teorema de mapeo abierto para otras condiciones que aseguran que un mapa continuo dado esté abierto.
Referencias
- ↑ Brouwer LEJ Beweis der Invarianz des n -dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), páginas 305–315; ver también 72 (1912), páginas 55–56
- ^ Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach. CR Acad. Sci. París , 200 (1935) páginas 1083–1093
enlaces externos
- Mill, J. van (2001) [1994], "Invarianza de dominio" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press