En geometría , un poliedro flexible es una superficie poliédrica sin bordes limítrofes, cuya forma se puede cambiar continuamente manteniendo inalteradas las formas de todas sus caras. El teorema de rigidez de Cauchy muestra que en la dimensión 3 tal poliedro no puede ser convexo (esto también es cierto en dimensiones superiores).
Los primeros ejemplos de poliedros flexibles, ahora llamados octaedros de Bricard , fueron descubiertos por Raoul Bricard ( 1897 ). Son superficies que se intersecan por sí mismas, isométricas a un octaedro . El primer ejemplo de una superficie flexible que no se interseca automáticamente en, la esfera de Connelly , fue descubierta por Robert Connelly ( 1977 ). El poliedro de Steffen es otro poliedro flexible que no se interseca automáticamente derivado del octaedro de Bricard. [1]
Conjetura de Bellows
A finales de la década de 1970, Connelly y D. Sullivan formularon la conjetura de los fuelles afirmando que el volumen de un poliedro flexible es invariable bajo flexión. Esta conjetura fue probada para poliedros homeomórficos a una esfera por I. Kh. Sabitov ( 1995 ) usando la teoría de la eliminación , y luego probado para superficies poliédricas bidimensionales orientables en general por Robert Connelly, I. Sabitov y Anke Walz ( 1997 ). La prueba extiende la fórmula de Piero della Francesca para el volumen de un tetraedro a una fórmula para el volumen de cualquier poliedro. La fórmula extendida muestra que el volumen debe ser una raíz de un polinomio cuyos coeficientes dependen solo de las longitudes de los bordes del poliedro. Dado que las longitudes de los bordes no pueden cambiar a medida que el poliedro se flexiona, el volumen debe permanecer en una de las finitas raíces del polinomio, en lugar de cambiar continuamente. [2]
Congruencia de tijera
Connelly conjeturó que el invariante de Dehn de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esto se conoció como la conjetura del fuelle fuerte o (después de que se probó en 2018) el teorema del fuelle fuerte . [3] La curvatura media total de un poliedro flexible, definida como la suma de los productos de las longitudes de los bordes con ángulos diedros exteriores, es una función del invariante de Dehn que también se sabe que permanece constante mientras un poliedro se flexiona. [4]
Generalizaciones
Hellmuth Stachel ( 2000 ) estudió 4 politopos flexibles en el espacio euclidiano de 4 dimensiones y el espacio hiperbólico de 3 dimensiones . En dimensiones, los politopos flexibles fueron construidos por Gaifullin (2014) .
Ver también
Referencias
Notas
Fuentes primarias
- Alexander, Ralph (1985), "Mapas de Lipschitzian y curvatura media total de superficies poliédricas. I", Transactions of the American Mathematical Society , 288 (2): 661–678, doi : 10.2307 / 1999957 , JSTOR 1999957 , MR 0776397.
- Alexandrov, Victor (2010), "The Dehn invariants of the Bricard octahedra", Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , doi : 10.1007 / s00022-011-0061-7 , MR 2823098.
- Bricard, R. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé" , J. Math. Pures Appl. , 5 (3): 113-148, Archivado desde el original en 2012-02-16 , obtenidos 2008-07-27
- Connelly, Robert (1977), "Un contraejemplo de la conjetura de rigidez para poliedros" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 (47): 333–338, doi : 10.1007 / BF02684342 , ISSN 1618-1913 , MR 0488071
- Connelly, Robert; Sabitov, I .; Walz, Anke (1997), "La conjetura del fuelle" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821 , MR 1447981
- Gaifullin, Alexander A. (2014), "Politopos cruzados flexibles en espacios de curvatura constante", Actas del Instituto de Matemáticas Steklov , 286 (1): 77-113, arXiv : 1312.7608 , doi : 10.1134 / S0081543814060066 , MR 3482593.
- Gaĭfullin, AA; Ignashchenko, LS (2018), "Congruencia invariante de Dehn y tijeras de poliedros flexibles", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 302 (Topologiya i Fizika): 143-160, doi : 10.1134 / S0371968518030068 , ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642.
- Sabitov , I. Kh. (1995), "Sobre el problema de la invariancia del volumen de un poliedro deformable", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316 , MR 1339277
- Stachel, Hellmuth (2006), "Octaedros flexibles en el espacio hiperbólico", en A. Prékopa; et al. (eds.), Geometrías no euclidianas (volumen conmemorativo de János Bolyai) , Matemáticas y sus aplicaciones, 581 , Nueva York: Springer, págs. 209–225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283 , doi : 10.1007 / 0-387-29555 -0_11 , ISBN 978-0-387-29554-1, MR 2191249.
- Stachel, Hellmuth (2000), "Politopos cruzados flexibles en el espacio 4 euclidiano" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 4 (2): 159-167, MR 1829540.
Fuentes secundarias
- Connelly, Robert (1979), "La rigidez de las superficies poliédricas", Revista de matemáticas , 52 (5): 275-283, doi : 10.2307 / 2689778 , JSTOR 2689778 , MR 0551682.
- Connelly, Robert (1981), "Flexión de superficies", en Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner , Springer, págs. 79–89, doi : 10.1007 / 978-1-4684-6686-7_10 , ISBN 978-1-4684-6688-1.
- Connelly, Robert (1993), "Rigidity" (PDF) , Manual de geometría convexa, vol. A, B , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 223–271, MR 1242981.
- Demaine, Erik D .; O'Rourke, Joseph (2007), "23.2 Poliedros flexibles", Algoritmos de plegado geométrico: enlaces, origami, poliedros , Cambridge University Press, Cambridge, págs. 345–348, doi : 10.1017 / CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4, Señor 2354878.
- Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), "Lecture 25. Flexible polyhedra", Mathematical Omnibus: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 345–360, doi : 10.1090 / mbk / 046 , ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , poliedro flexible ( conjetura de Bellows ) en MathWorld .