La convexidad es un tema importante en economía . [1] En el modelo Arrow-Debreu de equilibrio económico general , los agentes tienen conjuntos presupuestarios convexos y preferencias convexas : a precios de equilibrio, el hiperplano presupuestario soporta la mejor curva de indiferencia alcanzable . [2] La función de ganancia es la conjugada convexa de la función de costo . [1] [2] El análisis convexo es la herramienta estándar para analizar la economía de los libros de texto. [1]Los fenómenos no convexos en economía se han estudiado con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . [3]
Preliminares
La economía depende de las siguientes definiciones y resulta de la geometría convexa .
Espacios vectoriales reales
A un espacio vectorial real de dos dimensiones se le puede dar un sistema de coordenadas cartesiano en el que cada punto se identifica mediante una lista de dos números reales, llamados "coordenadas", que se denotan convencionalmente por x e y . Se pueden agregar dos puntos en el plano cartesiano por coordenadas
- ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );
Además, un punto se puede multiplicar por cada número real λ en coordenadas
- λ ( x , y ) = ( λx , λy ).
De manera más general, cualquier espacio vectorial real de dimensión (finita) D puede verse como el conjunto de todas las posibles listas de D números reales {( v 1 , v 2 ,..., V D ) } junto con dos operaciones : suma vectorial y multiplicación por un número real . Para espacios vectoriales de dimensión finita, las operaciones de suma de vectores y multiplicación de números reales se pueden definir cada una por coordenadas, siguiendo el ejemplo del plano cartesiano.
Conjuntos convexos
En un espacio vectorial real, un conjunto se define como convexo si, para cada par de sus puntos, todos los puntos del segmento de recta que los une están cubiertos por el conjunto. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, todo lo que esté hueco o abollado, por ejemplo, una forma de media luna , no es convexo. Trivialmente , el conjunto vacío es convexo.
Más formalmente, un conjunto Q es convexo si, para todos los puntos v 0 y v 1 en Q y para cada número real λ en el intervalo unitario [0,1] , el punto
- (1 - λ ) v 0 + λv 1
es un miembro de Q .
Por inducción matemática , un conjunto Q es convexo si y sólo si cada combinación convexa de los miembros de Q también pertenece a Q . Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indexada { v 0 , v 1 ,. . . , v D } de un espacio vectorial es cualquier promedio ponderado λ 0 v 0 + λ 1 v 1 +. . . + λ D v D , para algún conjunto indexado de números reales no negativos { λ d } que satisfacen la ecuación λ 0 + λ 1 +. . . + λ D = 1.
La definición de un conjunto convexo implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. De manera más general, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
Casco convexo
Para cada subconjunto Q de un espacio vectorial real, su casco convexo Conv ( Q ) es el mínimo conjunto convexo que contiene Q . Por lo tanto Conv ( Q ) es la intersección de todos los conjuntos convexos que la cubierta Q . El casco convexo de un conjunto se puede equivalentemente define como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en Q .
Dualidad: intersección de medios espacios
El hiperplano de soporte es un concepto en geometría . Un hiperplano divide un espacio en dos medios espacios . Se dice que un hiperplano soporta un conjunto en el n- espacio real si cumple con los dos siguientes:
- está contenido completamente en uno de los dos cerrados medias espacios determinados por el hiperplano
- tiene al menos un punto en el hiperplano.
Aquí, un medio espacio cerrado es el medio espacio que incluye el hiperplano.
Apoyando el teorema del hiperplano
Este teorema establece que sies un conjunto convexo cerrado en y es un punto en el límite de entonces existe un hiperplano de apoyo que contiene
El hiperplano del teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado no es convexa, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos del límite de como se ilustra en la tercera imagen de la derecha.
Ciencias económicas
Una canasta de bienes óptima ocurre cuando el conjunto de preferencias convexas del consumidor está respaldado por la restricción presupuestaria, como se muestra en el diagrama. Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces el conjunto de decisiones óptimas del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una canasta óptima única (o incluso un segmento de línea de canastas óptimas).
Para simplificar, asumiremos que las preferencias de un consumidor pueden describirse mediante una función de utilidad que es una función continua , lo que implica que los conjuntos de preferencias son cerrados . (El significado de "conjunto cerrado" se explica a continuación, en la subsección sobre aplicaciones de optimización).
No convexidad
Si un conjunto de preferencias no es convexo, algunos precios producen un presupuesto que respalda dos decisiones de consumo óptimas diferentes. Por ejemplo, podemos imaginar que, para los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico es suficiente para un águila o un león. Podemos suponer también que el cuidador de un zoológico ve a cualquiera de los animales como igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. ¡Por supuesto, un cuidador de zoológico contemporáneo no quiere comprar media águila y medio león (o un grifo )! Por lo tanto, las preferencias del cuidador del zoológico contemporáneo no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los animales a tener una combinación estrictamente convexa de ambos.
Conjuntos no convexos se han incorporado en las teorías del equilibrio económico general, [4] de los fallos del mercado , [5] y de la economía pública . [6] Estos resultados se describen en libros de texto para graduados en microeconomía , [7] teoría del equilibrio general, [8] teoría de juegos , [9] economía matemática , [10] y matemáticas aplicadas (para economistas). [11] Los resultados del lema de Shapley-Folkman establecen que las no convexidades son compatibles con equilibrios aproximados en mercados con muchos consumidores; Estos resultados también se aplican a las economías de producción con muchas empresas pequeñas . [12]
En los " oligopolios " (mercados dominados por unos pocos productores), especialmente en los " monopolios " (mercados dominados por un productor), las no convexidades siguen siendo importantes. [13] Las preocupaciones con los grandes productores que explotan el poder de mercado de hecho iniciaron la literatura sobre conjuntos no convexos, cuando Piero Sraffa escribió sobre empresas con rendimientos crecientes a escala en 1926, [14] después de lo cual Harold Hotelling escribió sobre precios de costo marginal en 1938 . [15] Tanto Sraffa y Hotelling ilumina el poder de mercado de los productores sin competidores, estimulando sencillamente una literatura en el lado de la oferta de la economía. [16] Los conjuntos no convexos surgen también con los bienes ambientales (y otras externalidades ), [17] [18] con la economía de la información , [19] y con los mercados de valores [13] (y otros mercados incompletos ). [20] [21] Estas aplicaciones continuaron motivando a los economistas a estudiar conjuntos no convexos. [22]
Análisis no suave
Los economistas han estudiado cada vez más conjuntos no convexos con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . "Las no convexidades en [tanto] la producción como el consumo ... requerían herramientas matemáticas que iban más allá de la convexidad, y un mayor desarrollo tuvo que esperar la invención del cálculo no uniforme" (por ejemplo, el cálculo local de Lipschitz de Francis Clarke ), como lo describe Rockafellar & Wets (1998) [23] y Mordukhovich (2006) , [24] según Khan (2008) . [3] Brown (1995 , págs. 1967–1968)
escribió que la "principal innovación metodológica en el análisis de equilibrio general de empresas con reglas de precios" fue "la introducción de los métodos de análisis no uniforme, como una [síntesis] del análisis global (topología diferencial) y [del] análisis convexo. " Según Brown (1995 , p. 1966) , "El análisis no uniforme extiende la aproximación local de variedades por planos tangentes [y extiende] la aproximación análoga de conjuntos convexos por conos tangentes a conjuntos" que pueden ser no lisos o convexos. [25] Los economistas también han utilizado topología algebraica . [26]Ver también
- Dualidad convexa
Notas
- ↑ a b c Newman (1987c)
- ↑ a b Newman (1987d)
- ↑ a b Khan, M. Ali (2008). "Competencia perfecta" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E., ed. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 354–365. doi : 10.1057 / 9780230226203.1267 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- ^ Páginas 392–399 y página 188: Arrow, Kenneth J .; Hahn, Frank H. (1971). "Apéndice B: Conjuntos convexos y relacionados" . Análisis competitivo general . Textos de economía matemática [Libros de texto avanzados en economía]. San Francisco: Holden-Day, Inc. [Holanda Septentrional]. págs. 375–401 . ISBN 978-0-444-85497-1. Señor 0439057 .
Páginas 52–55 con aplicaciones en las páginas 145–146, 152–153 y 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). "1.L Promedios de conjuntos". La teoría del equilibrio económico general: un enfoque diferenciable . Monografías de la Sociedad Econométrica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-26514-0. Señor 1113262 .
Teorema C (6) en la página 37 y aplicaciones en las páginas 115-116, 122 y 168: Hildenbrand, Werner (1974). Núcleo y equilibrios de una gran economía . Princeton estudia economía matemática. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. viii + 251. ISBN 978-0-691-04189-6. Señor 0389160 . - ^ Páginas 112-113 en la Sección 7.2 "Convexificación por números" (y más generalmente pp. 107-115): Salanié, Bernard (2000). "7 No convexidades". Microeconomía de las fallas de mercado (traducción al inglés de la (1998) microeconomía francesa : Les défaillances du marché (Economica, París) ed.). MIT Press. págs. 107-125. ISBN 978-0-262-19443-3.
- ^ Páginas 63–65: Laffont, Jean-Jacques (1988). "3 No convexidades" . Fundamentos de la economía pública . MIT. ISBN 978-0-262-12127-9.
- ^ Varian, Hal R. (1992). "21.2 Convexidad y tamaño" . Análisis microeconómico (3ª ed.). W. W. Norton & Company. págs. 393–394 . ISBN 978-0-393-95735-8. Señor 1036734 .
Página 628: Mas – Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995). "17.1 Grandes economías y no convexidades". Teoría microeconómica . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9. - ^ Página 169 en la primera edición: Starr, Ross M. (2011). "8 Conjuntos convexos, teoremas de separación y conjuntos no convexos en R N ". Teoría del equilibrio general: Introducción (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / CBO9781139174749 . ISBN 978-0-521-53386-7. Señor 1462618 .
En Ellickson, página xviii, y especialmente el capítulo 7 "Walras se encuentra con Nash" (especialmente la sección 7.4 "No convexidad" páginas 306-310 y 312, y también 328-329) y el capítulo 8 "¿Qué es la competencia?" (páginas 347 y 352): Ellickson, Bryan (1994). Equilibrio competitivo: teoría y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 420. doi : 10.2277 / 0521319889 . ISBN 978-0-521-31988-1. - ^ Teorema 1.6.5 en las páginas 24-25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Teoría de juegos para análisis económico . Teoría económica, econometría y economía matemática. Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]. págs. x + 164. ISBN 978-0-12-370180-0. Señor 0700688 .
- ^ Páginas 127 y 33–34: Cassels, J. W. S. (1981). "Apéndice A Conjuntos convexos". Economía para matemáticos . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 62 . Cambridge, Nueva York: Cambridge University Press. págs. xi + 145. ISBN 978-0-521-28614-5. Señor 0657578 .
- ^ Páginas 93–94 (especialmente ejemplo 1.92), 143, 318–319, 375–377 y 416: Carter, Michael (2001). Fundamentos de la economía matemática . MIT Press. págs. xx + 649. ISBN 978-0-262-53192-4. Señor 1865841 .
Página 309: Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica: Volumen I. Estudios de teoría económica. 9 . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 414. doi : 10.1007 / 978-3-662-08544-8 . ISBN 978-3-540-66235-8. Señor 1727000 .
Páginas 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong (2001). Convexidad y optimización de dimensión finita . Estudios de teoría económica. 13 . en cooperación con Pascal Gourdel. Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 154. doi : 10.1007 / 978-3-642-56522-9 . ISBN 978-3-540-41516-9. Señor 1878374 . S2CID 117240618 . - ^ Los economistas han estudiado conjuntos no convexos utilizando matemáticas avanzadas, en particular geometría diferencial y topología , categoría de Baire , teoría de la medida e integración y teoría ergódica : Trockel, Walter (1984). Demanda del mercado: un análisis de las grandes economías con preferencias no convexas . Apuntes de clases en Economía y Sistemas Matemáticos. 223 . Berlín: Springer-Verlag. págs. viii + 205. doi : 10.1007 / 978-3-642-46488-1 . ISBN 978-3-540-12881-6. Señor 0737006 .
- ^ a b Página 1: Guesnerie, Roger (1975). "Optimidad de Pareto en economías no convexas". Econometrica . 43 (1): 1–29. doi : 10.2307 / 1913410 . JSTOR 1913410 . Señor 0443877 . ( Guesnerie, Roger (1975). "Errata". Econometrica . 43 (5–6): 1010. doi : 10.2307 / 1911353 . JSTOR 1911353 . Señor 0443878 .)
- ^ Sraffa, Piero (1926). "Las leyes de la rentabilidad en condiciones competitivas". Revista económica . 36 (144): 535–550. doi : 10.2307 / 2959866 . JSTOR 2959866 . S2CID 6458099 .
- ^ Hotelling, Harold (julio de 1938). "El Bienestar general en relación a los problemas de fiscalidad y de tarifas ferroviarias y de servicios públicos". Econometrica . 6 (3): 242–269. doi : 10.2307 / 1907054 . JSTOR 1907054 .
- ^ Páginas 5-7: Quinzii, Martine (1992). Rendimiento y eficiencia crecientes (traducción revisada de (1988) Rendements croissants et eficacité economique . París: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed.). Nueva York: Oxford University Press. págs. viii + 165. ISBN 978-0-19-506553-4.
- ^ Páginas 106, 110-137, 172 y 248: Baumol, William J .; Oates, Wallace E. (1988). "8 Externalidades perjudiciales y no convexidades en el conjunto de producción". La teoría de la política medioambiental . con contribuciones de V. S. Bawa y David F. Bradford (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. x + 299. doi : 10.2277 / 0521311128 . ISBN 978-0-521-31112-0.
- ^ Starrett, David A. (1972). "No convexidades fundamentales en la teoría de las externalidades". Revista de teoría económica . 4 (2): 180-199. doi : 10.1016 / 0022-0531 (72) 90148-2 . Señor 0449575 .
Starrett analiza las no convexidades en su libro de texto sobre economía pública (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 y 234–236): Starrett, David A. (1988). Fundamentos de la economía pública . Manuales económicos de Cambridge. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521348010.no convexas O no convexas.
- ^ Radner, Roy (1968). "Equilibrio competitivo bajo incertidumbre". Econometrica . 36 (1): 31–53. doi : 10.2307 / 1909602 . JSTOR 1909602 .
- ^ Página 270: Drèze, Jacques H. (1987). "14 Inversión de propiedad privada: Optimidad, equilibrio y estabilidad". En Drèze, J. H. (ed.). Ensayos sobre decisiones económicas bajo incertidumbre . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 261-297. doi : 10.1017 / CBO9780511559464 . ISBN 978-0-521-26484-6. Señor 0926685 . (Publicado originalmente como Drèze, Jacques H. (1974). "Inversión de propiedad privada: Optimidad, equilibrio y estabilidad". En Drèze, J. H. (ed.). Asignación bajo incertidumbre: equilibrio y optimización . Nueva York: Wiley. págs. 129-165.)
- ^ Página 371: Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). "6 Producción en una economía financiera, Sección 31 Asociaciones". La teoría de los mercados incompletos . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. págs. 329–425.
- ^ Mas-Colell, A. (1987). "No convexidad" (PDF) . En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (primera ed.). Palgrave Macmillan. págs. 653–661. doi : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765.
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger JB (1998). Análisis variacional . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 317 . Berlín: Springer-Verlag. págs. xiv + 733. doi : 10.1007 / 978-3-642-02431-3 . ISBN 978-3-540-62772-2. Señor 1491362 . S2CID 198120391 .
- ^ Capítulo 8 "Aplicaciones a la economía", especialmente la Sección 8.5.3 "Introduzca la no convexidad" (y el resto del capítulo), en particular la página 495:
Mordukhovich, Boris S. (2006). Análisis variacional y diferenciación generalizada II : Aplicaciones . Serie Grundlehren (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas). 331 . Saltador. págs. i – xxii y 1–610. Señor 2191745 . - ^ Brown, Donald J. (1991). "36 Análisis de equilibrio con tecnologías no convexas". En Hildenbrand, Werner ; Sonnenschein, Hugo (eds.). Manual de economía matemática, Volumen IV. Manuales de economía. 1 . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. 1963–1995 [1966]. doi : 10.1016 / S1573-4382 (05) 80011-6 . ISBN 0-444-87461-5. Señor 1207195 .
- ^ Chichilnisky, G. (1993). "Intersección de familias de conjuntos y topología de conos en economía" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 29 (2): 189-207. arXiv : matemáticas / 9310228 . Bibcode : 1993math ..... 10228C . CiteSeerX 10.1.1.234.3909 . doi : 10.1090 / S0273-0979-1993-00439-7 . Señor 1218037 .
Referencias
- Blume, Lawrence E. (2008a). "Convexidad" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 225–226. doi : 10.1057 / 9780230226203.0315 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- Blume, Lawrence E. (2008b). "Programación convexa" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 220–225. doi : 10.1057 / 9780230226203.0314 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- Blume, Lawrence E. (2008c). "Dualidad" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 551–555. doi : 10.1057 / 9780230226203.0411 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasi-concavidad" . En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- Diewert, W. E. (1982). "12 enfoques de dualidad a la teoría microeconómica". En Arrow, Kenneth Joseph ; Intriligador, Michael D (eds.). Manual de economía matemática, Volumen II. Manuales de economía. 1 . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. 535–599. doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Señor 0648778 .
- Green, Jerry; Heller, Walter P. (1981). "1 Análisis matemático y convexidad con aplicaciones a la economía". En Arrow, Kenneth Joseph ; Intriligador, Michael D (eds.). Manual de economía matemática, Volumen I. Manuales de economía. 1 . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. 15–52. doi : 10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9 . ISBN 978-0-444-86126-9. Señor 0634800 .
- Luenberger, David G. Teoría microeconómica , McGraw-Hill, Inc., Nueva York, 1995.
- Mas-Colell, A. (1987). "No convexidad" (PDF) . En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (primera ed.). Palgrave Macmillan. págs. 653–661. doi : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765.
- Newman, Peter (1987c). "Convexidad" . En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (primera ed.). Palgrave Macmillan. pag. 1. doi : 10.1057 / 9780230226203.2282 . ISBN 9780333786765.
- Newman, Peter (1987d). "Dualidad" . En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (primera ed.). Palgrave Macmillan. pag. 1. doi : 10.1057 / 9780230226203.2412 . ISBN 9780333786765.
- Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Análisis convexo . Hitos de Princeton en matemáticas (Reimpresión de la serie matemática de Princeton de 1979 28 ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6. Señor 0274683 ..
- Schneider, Rolf (1993). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 44 . Cambridge: Cambridge University Press. págs. xiv + 490. doi : 10.1017 / CBO9780511526282 . ISBN 978-0-521-35220-8. Señor 1216521 .