En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Conway Co 2 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23
- = 42305421312000
- ≈ 4 × 10 13 .
Historia y propiedades
El Co 2 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por ( Conway 1968 , 1969 ) como el grupo de automorfismos de la red Leech Λ que fija un vector de red de tipo 2 . Por tanto, es un subgrupo de Co 0 . Es isomorfo a un subgrupo de Co 1 . El producto directo 2 × Co 2 es máximo en Co 0 .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo son triviales .
Representaciones
Co 2 actúa como un grupo de permutación de rango 3 en 2300 puntos. Estos puntos se pueden identificar con hexágonos planos en la celosía Leech que tiene 6 vértices tipo 2.
El Co 2 actúa sobre el retículo integral par de 23 dimensiones sin raíces del determinante 4, dado como un subrretículo del retículo Leech ortogonal a un vector norma 4. Sobre el campo con 2 elementos tiene una representación fiel de 22 dimensiones; esta es la representación fiel más pequeña sobre cualquier campo.
Feit (1974) mostró que si un grupo finito tiene una representación racional fiel absolutamente irreducible de dimensión 23 y no tiene subgrupos de índice 23 o 24, entonces está contenido en Z / 2 Z × Co 2 o Z / 2 Z × Co 3 .
El grupo de Mathieu M 23 es isomorfo a un subgrupo máximo de Co 2 y una representación, en matrices de permutación, fija el vector de tipo 2 u = (-3,1 23 ). Un bloque suma ζ de la involución η =
y 5 copias de -η también fijan el mismo vector. Por tanto, Co 2 tiene una representación matricial conveniente dentro de la representación estándar de Co 0 . La traza de ζ es -8, mientras que las involuciones en M 23 tienen la traza 8.
Una suma de bloques de 24 dimensiones de η y -η está en Co 0 si y solo si el número de copias de η es impar.
Otra representación fija el vector v = (4, -4,0 22 ). Un subgrupo monomial y máximo incluye una representación de M 22 : 2, donde cualquier α que intercambie las primeras 2 coordenadas restaura v negando luego el vector. También se incluyen involuciones diagonales correspondientes a octadas (traza 8), 16 conjuntos (traza -8) y dodecadas (traza 0). Se puede demostrar que el Co 2 tiene solo 3 clases de conjugación de involuciones. η deja (4, -4,0,0) sin cambios; la suma de bloques ζ proporciona un generador no monomial que completa esta representación de Co 2 .
Hay una forma alternativa de construir el estabilizador de v . Ahora u y u + v = (1, -3,1 22 ) son vértices de un triángulo 2-2-2 (vide infra). Entonces u , u + v , v , y sus negativos forman un hexágono coplanar fijado por ζ y M 22 ; estos generan un grupo Fi 21 ≈ U 6 (2). α (vide supra) extiende esto a Fi 21 : 2, que es máximo en Co 2 . Por último, Co 0 es transitivo en puntos de tipo 2, de modo que una fijación u de 23 ciclos tiene una fijación conjugada v , y la generación se completa.
Subgrupos máximos
Algunos subgrupos máximos fijan o reflejan subredes bidimensionales de la red Leech. Es habitual definir estos planos mediante triángulos hkl : triángulos que incluyen el origen como vértice, siendo las aristas (diferencias de vértices) vectores de tipo h, k y l.
Wilson (2009) encontró las 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de Co 2 de la siguiente manera:
- Fi 21 : 2 ≈ U 6 (2): 2 - grupo de simetría / reflexión del hexágono coplanar de 6 puntos tipo 2. Fija un hexágono en una representación de permutación de rango 3 de Co 2 en 2300 tales hexágonos. Bajo este subgrupo, los hexágonos se dividen en órbitas de 1, 891 y 1408. Fi 21 fija un triángulo 2-2-2 que define el plano.
- 2 10 : M 22 : 2 tiene la representación monomial descrita anteriormente; 2 10 : M 22 fija un triángulo 2-2-4.
- McL arregla un triángulo 2-2-3.
- 2 1 + 8 : Sp 6 (2) - centralizador de involución clase 2A (traza -8)
- HS : 2 fija un triángulo 2-3-3 o intercambia sus vértices tipo 3 con cambio de signo.
- (2 4 × 2 1 + 6 ) .A 8
- U 4 (3): D 8
- 2 4 + 10. (S 5 × S 3 )
- M 23 fija un triángulo 2-3-4.
- 3 1 + 4 .2 1 + 4 .S 5
- 5 1 + 2 : 4S 4
Clases conjugadas
Se muestran las trazas de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de Co 2 . [1] Los nombres de las clases de conjugación se toman del Atlas de representaciones de grupos finitos. [2]
Los centralizadores de estructura desconocida se indican entre paréntesis.
Clase | Orden de centralizador | Centralizador | Tamaño de la clase | Rastro | |
---|---|---|---|---|---|
1A | todo Co 2 | 1 | 24 | ||
2A | 743,178,240 | 2 1 + 8 : Sp 6 (2) | 3 2 · 5 2 · 11 · 23 | -8 | |
2B | 41,287,680 | 2 1 + 4 : 2 4 .A 8 | 2 · 3 4 · 5 2 11 · 23 | 8 | |
2C | 1,474,560 | 2 10 .A 6 .2 2 | 2 3 · 3 4 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
3A | 466,560 | 3 1 + 4 2 1 + 4 A 5 | 2 11 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -3 | |
3B | 155,520 | 3 × U 4 (2) .2 | 2 11 · 3 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 6 | |
4A | 3,096,576 | 4.2 6 .U 3 (3) .2 | 2 4 · 3 3 · 5 3 · 11 · 23 | 8 | |
4B | 122,880 | [2 10 ] S 5 | 2 5 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -4 | |
4C | 73,728 | [2 13 .3 2 ] | 2 5 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
4D | 49,152 | [2 14 .3] | 2 4 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
4E | 6.144 | [2 11 .3] | 2 7 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
4F | 6.144 | [2 11 .3] | 2 7 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
4G | 1.280 | [2 8 .5] | 2 10 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
5A | 3000 | 5 1 + 2 2A 4 | 2 15 · 3 5 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
5B | 600 | 5 × S 5 | 2 15 · 3 5 · 5 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
6A | 5.760 | 3,2 1 + 4 A5 | 2 11 · 3 4 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 5 | |
6B | 5.184 | [2 6 .3 4 ] | 2 12 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
6C | 4.320 | 6 × S 6 | 2 13 · 3 3 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
6D | 3.456 | [2 7 .3 3 ] | 2 11 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
6E | 576 | [2 6 .3 2 ] | 2 12 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
6F | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
7A | 56 | 7 × D 8 | 2 15 · 3 6 · 5 3 · 11 · 233 | 3 | |
8A | 768 | [2 8 .3] | 2 10 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
8B | 768 | [2 8 .3] | 2 10 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
8C | 512 | [2 9 ] | 2 9 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
8D | 512 | [2 9 ] | 2 9 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
8E | 256 | [2 8 ] | 2 10 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
8F | 64 | [2 6 ] | 2 12 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
9A | 54 | 9 × S 3 | 2 17 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
10 A | 120 | 5 × 2.A 4 | 2 15 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
10B | 60 | 10 × S 3 | 2 16 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
10C | 40 | 5 × D 8 | 2 15 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
11A | 11 | 11 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 23 | 2 | |
12A | 864 | [2 5 .3 3 ] | 2 13 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
12B | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
12C | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
12D | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
12E | 96 | [2 5 .3] | 2 13 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
12F | 96 | [2 5 .3] | 2 13 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
12G | 48 | [2 4 .3] | 2 14 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
12H | 48 | [2 4 .3] | 2 14 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
14A | 56 | 5 × D 8 | 2 15 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | -1 | |
14B | 28 | 14 × 2 | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | equivalente de potencia |
14C | 28 | 14 × 2 | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | |
15A | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
15B | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | equivalente de potencia |
15C | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
16A | 32 | 16 × 2 | 2 13 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
16B | 32 | 16 × 2 | 2 13 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
18A | 18 | 18 | 2 17 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
20A | 20 | 20 | 2 16 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
20B | 20 | 20 | 2 16 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
23A | 23 | 23 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 | 1 | equivalente de potencia |
23B | 23 | 23 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 | 1 | |
24A | 24 | 24 | 2 15 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
24B | 24 | 24 | 2 15 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
28A | 28 | 28 | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | |
30A | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
30B | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
30C | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 |
Referencias
- Conway, John Horton (1968), "Un grupo perfecto de orden 8,315,553,613,086,720,000 y los grupos simples esporádicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 61 (2): 398-400, doi : 10.1073 / pnas .61.2.398 , MR 0.237.634 , PMC 225 171 , PMID 16591697
- Conway, John Horton (1969), "Un grupo de orden 8,315,553,613,086,720,000", The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88, doi : 10.1112 / blms / 1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
- Conway, John Horton (1971), "Tres conferencias sobre grupos excepcionales", en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969., Boston, MA: Academic Press , págs. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, MR 0338152Reimpreso en Conway & Sloane (1999 , 267-298)
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- Feit, Walter (1974), "Sobre representaciones integrales de grupos finitos", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 29 : 633–683, doi : 10.1112 / plms / s3-29.4.633 , ISSN 0024-6115 , MR 0374248
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- Específico
- ↑ Wilson (1983)
- ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/Co2/#ccls
enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Conway
- Atlas de representaciones de grupos finitos: Co 2 versión 2
- Atlas de representaciones de grupos finitos: Co 2 versión 3