En matemáticas , se dice que una subcategoría A completa de una categoría B es reflectante en B cuando el funtor de inclusión de A a B tiene un adjunto izquierdo . [1] : 91 Este adjunto a veces se denomina reflector o localización . [2] Dualmente, se dice que A es correflectivo en B cuando el funtor de inclusión tiene un adjunto derecho .
De manera informal, un reflector actúa como una especie de operación de finalización. Agrega cualquier pieza "faltante" de la estructura de tal manera que reflejarla nuevamente no tiene ningún efecto adicional.
Definición
Una subcategoría completo A de una categoría B se dice que es reflectante en B si para cada B - objeto B existe una A -objetoy a B - morfismo tal que para cada B -morfismoa una A -objetoexiste un morfismo A único con .
El par se llama la A-reflexión de B . El morfismose llama flecha de reflexión A. (Aunque a menudo, en aras de la brevedad, hablamos desólo como siendo el reflejo A de B ).
Esto equivale a decir que el functor de incrustación es un adjunto derecho. El functor adjunto izquierdo se llama reflector . El mapaes la unidad de este adjunto.
El reflector asigna a la A -objeto y para un B -morfismoestá determinado por el diagrama de desplazamiento
Si todas las flechas de reflexión A son epimorfismos (extremos) , entonces se dice que la subcategoría A es epimorfismos (extremos) . De manera similar, es birreflectante si todas las flechas de reflexión son bimorfismos .
Todas estas nociones son un caso especial de la generalización común:-subcategoría reflectante, dondees una clase de morfismos.
La -casco reflectante de una clase A de objetos se define como el más pequeñosubcategoría -reflective que contiene A . Así podemos hablar de casco reflectante, casco epirreflectante, casco epirreflectante extremal, etc.
Una subcategoría anti-reflectante es una subcategoría completo A de tal manera que los únicos objetos de B que tiene una A flecha -Reflexión son aquellos que ya están en A . [ cita requerida ]
Las nociones duales de las nociones mencionadas son coreflexión, flecha de coreflexión, subcategoría (mono) coreflectiva, casco coreflectivo, subcategoría anti-coreflectiva.
Ejemplos de
Álgebra
- La categoría de grupos abelianos Ab es una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos , Grp . El reflector es el functor que envía a cada grupo a su abelianización . A su vez, la categoría de grupos es una subcategoría reflexiva de la categoría de semigrupos inversos . [3]
- De manera similar, la categoría de álgebras asociativas conmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector está cociente por el ideal del conmutador . Esto se usa en la construcción del álgebra simétrica a partir del álgebra tensorial .
- Dualmente, la categoría de álgebras asociativas anticonmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector está cociente por el ideal anticonmutador. Esto se usa en la construcción del álgebra exterior a partir del álgebra tensorial.
- La categoría de campos es una subcategoría reflexiva de la categoría de dominios integrales (con homomorfismos de anillo inyectivo como morfismos). El reflector es el funtor que envía cada dominio integral a su campo de fracciones .
- La categoría de grupos de torsión abelianos es una subcategoría coreflectiva de la categoría de grupos abelianos. El correflector es el functor que envía a cada grupo a su subgrupo de torsión .
- Las categorías de grupos abelianos elementales , grupos p abelianos y grupos p son todas subcategorías reflectantes de la categoría de grupos, y los núcleos de los mapas de reflexión son importantes objetos de estudio; ver el teorema del subgrupo focal .
- La categoría de grupos es una subcategoría co- reflectante de la categoría de monoides : el adjunto de la derecha asigna un monoide a su grupo de unidades . [4]
Topología
- La categoría de espacios de Kolmogorov ( espacios T 0 ) es una subcategoría reflectante de Top , la categoría de espacios topológicos , y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
- La categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflectante de Top . Al tomar los cocientes de Kolmogorov, se ve que la subcategoría de espacios de Tychonoff también es reflexiva.
- La categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff es una subcategoría reflectante de la categoría de todos los espacios de Tychonoff (y de la categoría de todos los espacios topológicos [2] : 140 ). El reflector viene dado por la compactación Stone-Čech .
- La categoría de todos los espacios métricos completos con asignaciones uniformemente continuas es una subcategoría reflectante de la categoría de espacios métricos . El reflector es la terminación de un espacio métrico en objetos y la extensión por densidad en flechas. [1] : 90
Análisis funcional
- La categoría de espacios de Banach es una subcategoría reflectante de la categoría de espacios normativos y operadores lineales acotados . El reflector es el functor de terminación de la norma.
Teoría de categorías
- Para cualquier sitio de Grothendieck ( C , J ), el topos de las poleas en ( C , J ) es una subcategoría reflectante del topos de los pre-ondas en C , con la propiedad adicional especial de que el functor reflector se deja exacto . El reflector es el funtor de gavilla a : Presh ( C ) → Sh ( C , J ), y el par adjunto ( a , i ) es un ejemplo importante de morfismo geométrico en la teoría de topos.
Propiedades
- Los componentes del recuento son isomorfismos . [2] : 140 [1]
- Si D es una subcategoría reflectante de C , a continuación, la inclusión funtor D → C crea todos los límites que están presentes en C . [2] : 141
- Una subcategoría reflectante tiene todos los colímites que están presentes en la categoría ambiental. [2] : 141
- La mónada inducida por el adjunto reflector / localización es idempotente. [2] : 158
Notas
- ↑ a b c Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). Categorías para el matemático en activo (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 89. ISBN 0387984038. OCLC 37928530 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b c d e f Riehl, Emily (9 de marzo de 2017). Teoría de categorías en contexto . Mineola, Nueva York. pag. 140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474 .
- ^ Lawson (1998), p. 63, Teorema 2.
- ^ "subcategoría coreflectiva en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 2 de abril de 2019 .
Referencias
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990).Categorías abstractas y concretas (PDF) . Nueva York: John Wiley & Sons .
- Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Categorías, Alegorías . Biblioteca de Matemáticas Vol 39. Holanda Septentrional . ISBN 978-0-444-70368-2.
- Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Notas de clase en matemáticas. 78. Berlín: Springer .
- Mark V. Lawson (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.