En matemáticas, un espacio topológico se llama contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.
Definiciones equivalentes
Un espacio topológico X se llama contablemente compacto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: [1] [2]
- (1) Cada cubierta abierta contable de X tiene una subcubierta finita.
- (2) Cada infinito conjunto A en X tiene un punto ω-acumulación en X .
- (3) Cada secuencia en X tiene un punto de acumulación en X .
- (4) Cada familia contable de subconjuntos cerrados de X con una intersección vacía tiene una subfamilia finita con una intersección vacía.
Prueba de equivalencia |
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(1) (2): Suponga que (1) se cumple y A es un subconjunto infinito de X sin-punto de acumulación. Si es necesario, tomando un subconjunto de A , podemos suponer que A es contable. Cada tiene un vecindario abierto tal que es finito (posiblemente vacío), ya que x no es un punto de acumulación ω. Para cada subconjunto finito F de A, defina. Cada es un subconjunto de uno de los , entonces el portada X . Dado que hay innumerables de ellos, laformar una cubierta abierta numerable de X . Pero cadaintersecan A en un subconjunto finito (es decir, F ), por lo que un número finito de ellos no puede cubrir una , y mucho menos X . Esta contradicción prueba (2). (2) (3): Suponga que (2) se mantiene y dejaser una secuencia en X . Si la secuencia tiene un valor x que ocurre infinitamente muchas veces, ese valor es un punto de acumulación de la secuencia. De lo contrario, cada valor en la secuencia ocurre solo un número finito de veces y el conjuntoes infinito y, por lo tanto, tiene un punto de acumulación x x . Entonces, x es un punto de acumulación de la secuencia, como se comprueba fácilmente. (3) (1): Suponga que (3) se mantiene yes una cubierta abierta contable sin una subcubierta finita. Entonces para cada podemos elegir un punto eso no esta en. La secuenciatiene un punto de acumulación x y que x está en algún. Pero entonceses una vecindad de x que no contiene ninguno de los con , entonces x no es un punto de acumulación de la secuencia después de todo. Esta contradicción prueba (1). (4) (1): Las condiciones (1) y (4) se ven fácilmente como equivalentes tomando complementos. |
Ejemplos de
- El primer ordinal incontable (con la topología de orden ) es un ejemplo de un espacio contablemente compacto que no es compacto.
Propiedades
- Cada espacio compacto es increíblemente compacto.
- Un espacio notablemente compacto es compacto si y solo si es Lindelöf .
- Un espacio sumamente compacto es siempre compacto en el punto límite .
- Para los espacios T1 , la compacidad contable y la compacidad del punto límite son equivalentes.
- Para espacios metrizables , la compacidad contable, la compacidad secuencial , la compacidad del punto límite y la compacidad son todas equivalentes.
- El ejemplo del conjunto de todos los números reales con los topología estándar muestra que ni compactación local ni σ-compacidad ni paracompactness implican compacidad numerable.
- La imagen continua de un espacio contablemente compacto es contablemente compacta.
- Cada espacio contablemente compacto es pseudocompacto .
- En un espacio sumamente compacto, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita.
- Cada espacio paracompacto contablemente compacto es compacto. [3]
- Cada espacio normal contablemente compacto es normal en cuanto a colección .
- El producto de un espacio compacto y un espacio numerablemente compacto es numerablemente compacto. [4] [5]
- El producto de dos espacios compactos contables no necesita ser compactos contables. [6]
Ver también
Notas
- ^ Steen y Seebach, p. 19
- ^ https://math.stackexchange.com/a/718043/52912
- ^ https://math.stackexchange.com/q/171182/52912
- ^ Willard, problema 17F, p. 125
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3486708
- ^ Engelking, ejemplo 3.10.19, p. 205
Referencias
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
- Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley