espacio paracompacto

En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito . Estos espacios fueron introducidos por Dieudonné (1944) . Todo espacio compacto es paracompacto. Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal , y un espacio de Hausdorff es paracompacto si y sólo si admite particiones de unidad subordinadas a alguna cubierta abierta. A veces, los espacios paracompactos se definen para que siempre sean Hausdorff.

Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Si bien los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff siempre están cerrados, esto no es cierto para los subconjuntos paracompactos. Un espacio tal que cada subespacio de él es un espacio paracompacto se llama hereditariamente paracompacto . Esto es equivalente a exigir que todo subespacio abierto sea paracompacto.

El teorema de Tychonoff (que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto) no se generaliza a espacios paracompactos en el sentido de que el producto de espacios paracompactos no necesita ser paracompacto. Sin embargo, el producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto siempre es paracompacto.

Todo espacio métrico es paracompacto. Un espacio topológico es metrizable si y sólo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable .

Una cubierta de un conjunto es una colección de subconjuntos cuya unión contiene . En símbolos, si es una familia indexada de subconjuntos de , entonces es una cobertura de si ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización U}$ ${\ estilo de visualización X}$

Una cubierta de un espacio topológico es abierta si todos sus miembros son conjuntos abiertos . Un refinamiento de una cubierta de un espacio es una nueva cubierta del mismo espacio tal que cada conjunto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta anterior. En símbolos, la cubierta es un refinamiento de la cubierta si y sólo si, para cada en , existe alguna en tal que . ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ $V=\{V_{\beta }:\beta \en B\}$ $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ $V_{\beta}$ ${\ estilo de visualización V}$ $U_{\alfa}$ ${\ estilo de visualización U}$ $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$