Campo libre

Teoría del campo físico sin fuerzas / interacciones

No confundir con campo libre (acústica) .

Teoría cuántica de campos
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En física, un campo libre es un campo sin interacciones , que se describe mediante los términos de movimiento y masa.

Descripción

En la física clásica , un campo libre es un campo cuyo ecuaciones de movimiento vienen dados por lineales ecuaciones diferenciales parciales . Tales PDE lineales tienen una solución única para una condición inicial dada.

En la teoría cuántica de campos , una distribución valorada por un operador es un campo libre si satisface algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales de modo que el caso correspondiente de las mismas PDE lineales para un campo clásico (es decir, no un operador) sería la ecuación de Euler-Lagrange para algunos lagrangiano cuadrático . Podemos diferenciar distribuciones definiendo sus derivadas mediante funciones de prueba diferenciadas . Ver distribución de Schwartzpara más detalles. Dado que no se trata de distribuciones ordinarias, sino de distribuciones valoradas por operadores, se entiende que estas PDE no son restricciones sobre los estados, sino una descripción de las relaciones entre los campos manchados. Además de las PDE, los operadores también satisfacen otra relación, las relaciones de conmutación / anticonmutación.

Relación de conmutación canónica

Básicamente, conmutador (para bosones ) / anticonmutador (para fermiones ) de dos campos manchados es i veces el corchete de Peierls del campo consigo mismo (que en realidad es una distribución, no una función) para los PDE manchados sobre ambas funciones de prueba. Tiene la forma de un álgebra CCR / CAR .

Las álgebras CCR / CAR con infinitos grados de libertad tienen muchas representaciones unitarias irreducibles desiguales. Si la teoría se define sobre el espacio de Minkowski , podemos elegir el irrep unitario que contiene un estado de vacío, aunque eso no siempre es necesario.

Ejemplo

Sea φ una distribución valorada por un operador y la (Klein-Gordon) PDE sea

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0}$.

Este es un campo bosónico. Llamemos Δ a la distribución dada por el corchete de Peierls .

Luego,

${\displaystyle \{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)}$

donde aquí, φ es un campo clásico y {,} es el corchete de Peierls.

Entonces, la relación de conmutación canónica es

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}$.

Tenga en cuenta que Δ es una distribución sobre dos argumentos y, por lo tanto, también se puede difuminar.

De manera equivalente, podríamos haber insistido en que

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}$

donde es el operador de ordenación del tiempo y que si los soportes de f y g están separados en forma de espacio,${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}$.

Ver también

• Orden normal
• Teorema de Wick

Referencias

• Michael E. Peskin y Daniel V. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos , Addison-Wesley, Reading, 1995. p19-p29