En matemáticas , la fórmula Crofton , el nombre de Morgan Crofton (1826-1915), es un resultado clásico de la geometría integral que relaciona la longitud de una curva a la esperada número de veces que un "aleatorio" línea interseca.
Declaración
Suponer es una curva plana rectificable . Dada una línea orientada ℓ , sea( ℓ ) sea el número de puntos en los quey ℓ se intersecan. Podemos parametrizar la línea general ℓ por la dirección en el que apunta y su distancia firmada desde el origen . La fórmula de Crofton expresa la longitud del arco de la curva.en términos de una integral sobre el espacio de todas las líneas orientadas:
es invariante bajo movimientos rígidos , por lo que es una medida de integración natural para hablar de un número "promedio" de intersecciones. El lado derecho en la fórmula de Crofton a veces se llama longitud de Favard. [1]
Boceto de prueba
Ambos lados de la fórmula de Crofton son aditivos sobre la concatenación de curvas, por lo que es suficiente para probar la fórmula para un solo segmento de línea. Dado que el lado derecho no depende del posicionamiento del segmento de línea, debe ser igual a alguna función de la longitud del segmento. Como, nuevamente, la fórmula es aditiva sobre la concatenación de segmentos de línea, la integral debe ser una constante multiplicada por la longitud del segmento de línea. Solo queda determinar el factor de 1/4; esto se hace fácilmente calculando ambos lados cuando γ es el círculo unitario .
Otras formas
El espacio de líneas orientadas es una doble cubierta del espacio de líneas no orientadas. La fórmula de Crofton a menudo se expresa en términos de la densidad correspondiente en el último espacio, en el que el factor numérico no es 1/4 sino 1/2. Dado que una curva convexa interseca casi todas las líneas, ya sea dos veces o no, la fórmula de Crofton no orientada para curvas convexas se puede establecer sin factores numéricos: la medida del conjunto de líneas rectas que intersecan una curva convexa es igual a su longitud.
La fórmula de Crofton se generaliza a cualquier superficie de Riemann ; luego se realiza la integral con la medida natural en el espacio de las geodésicas .
Aplicaciones
La fórmula de Crofton arroja elegantes pruebas de los siguientes resultados, entre otros:
- Entre dos curvas cerradas, convexas y anidadas, la interior es más corta.
- Teorema de Barbier : Toda curva de ancho constante w tiene un perímetro π w .
- La desigualdad isoperimétrica : Entre todas las curvas cerradas con un perímetro dado, el círculo tiene el área máxima única.
- El casco convexo de cada curva cerrada rectificable acotada C tiene un perímetro como máximo de la longitud de C , con igualdad solo cuando C ya es una curva convexa.
Ver también
- Tallarines de Buffon
- La transformada de radón puede verse como una generalización de la teoría de la medida de la fórmula de Crofton y la fórmula de Crofton se utiliza en la fórmula de inversión de la transformada de radón en el plano k de Gel'fand y Graev [2]
- Longímetro Steinhaus
Referencias
- Tabachnikov, Serge (2005). Geometría y Billar . AMS. págs. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
- Santalo, LA (1953). Introducción a la geometría integral . págs. 12-13, 54. LCC QA641.S3 .
enlaces externos
- Página de fórmulas de Cauchy-Crofton , con miniaplicaciones de demostración