Las curvas son una técnica no adaptativa para la representación de objetos de múltiples escalas . Al ser una extensión del concepto de ondículas , se están volviendo populares en campos similares, a saber, en el procesamiento de imágenes y la informática científica .
Las wavelets generalizan la transformada de Fourier utilizando una base que representa tanto la ubicación como la frecuencia espacial. Para señales 2D o 3D, las transformadas de ondas direccionales van más allá, utilizando funciones básicas que también están localizadas en la orientación . Una transformada de curvelet se diferencia de otras transformadas de wavelet direccionales en que el grado de localización en la orientación varía con la escala. En particular, las funciones de base de escala fina son crestas largas; la forma de las funciones base a escala j es por por lo que las bases de escala fina son crestas delgadas con una orientación determinada con precisión.
Las curvas son una base apropiada para representar imágenes (u otras funciones) que son suaves, aparte de las singularidades a lo largo de curvas suaves, donde las curvas tienen curvatura limitada , es decir, donde los objetos en la imagen tienen una escala de longitud mínima. Esta propiedad es válida para dibujos animados, diagramas geométricos y texto. A medida que se amplía la imagen, los bordes que contienen parecen cada vez más rectos. Las curvas se aprovechan de esta propiedad, al definir las curvas de mayor resolución para que sean más alargadas que las de menor resolución. Sin embargo, las imágenes naturales (fotografías) no tienen esta propiedad; tienen detalles en todas las escalas. Por lo tanto, para imágenes naturales, es preferible utilizar algún tipo de transformada de ondas direccionales cuyas ondas tengan la misma relación de aspecto en todas las escalas.
Cuando la imagen es del tipo correcto, las curvas proporcionan una representación que es considerablemente más escasa que otras transformadas de ondas. Esto se puede cuantificar considerando la mejor aproximación de una imagen de prueba geométrica que se puede representar usando solo ondículas, y analizando el error de aproximación en función de . Para una transformada de Fourier, el error al cuadrado disminuye solo cuando. Para una amplia variedad de transformaciones de ondículas, incluidas las variantes direccionales y no direccionales, el error al cuadrado disminuye a medida que. La suposición adicional subyacente a la transformación de la curva le permite lograr.
Existen algoritmos numéricos eficientes para calcular la transformada de curva de datos discretos. El costo computacional de una transformada de curvelet es aproximadamente 10-20 veces mayor que el de una FFT, y tiene la misma dependencia de para una imagen de tamaño .
Construcción curvelet
Para construir una curva básica y proporcionar un mosaico del espacio de frecuencias 2-D, se deben seguir dos ideas principales:
- Considere las coordenadas polares en el dominio de la frecuencia
- Construya elementos de curvatura que se apoyen localmente cerca de las cuñas
El número de cuñas es en la escala , es decir, se duplica en cada segundo anillo circular.
Dejar ser la variable en el dominio de la frecuencia, y ser las coordenadas polares en el dominio de la frecuencia.
Usamos el ansatz para las curvas básicas dilatadas en coordenadas polares:
Para construir una curva básica con soporte compacto cerca de una ″ cuña básica ″, las dos ventanas y Necesita tener un soporte compacto. Aquí, simplemente podemos tomar cubrir con curvillas dilatadas y de tal manera que cada anillo circular está cubierto por las traducciones de .
Entonces la admisibilidad cede
ver funciones de la ventana para obtener más información
para el embaldosado un anillo circular en cuñas, donde es un entero positivo arbitrario, necesitamos un -ventana periódica no negativa con apoyo en el interior tal que
, para todos
se puede construir simplemente como -periodizaciones de una ventana escalada .
Entonces, se sigue que
Para una cobertura completa del plano de frecuencia, incluida la región alrededor de cero, necesitamos definir un elemento de paso bajo
con
que se apoya en el círculo unitario, y donde no consideramos ninguna rotación.
Aplicaciones
- Procesamiento de imágenes
- Exploración sísmica
- Mecánica de fluidos
- Resolución de PDE
- Detección comprimida
Ver también
Referencias
- E. Candès y D. Donoho, "Curvelets: una representación no adaptativa sorprendentemente eficaz para objetos con bordes". En: A. Cohen, C. Rabut y L. Schumaker, Editores, Curvas and Surface Fitting : Saint-Malo 1999, Vanderbilt University Press, Nashville (2000), págs. 105-120.
- Majumdar Angshul Bangla Reconocimiento básico de caracteres utilizando la transformación de curva digital Revista de investigación de reconocimiento de patrones ( JPRR ), Vol 2. (1) 2007 p.17-26
- Emmanuel Candes, Laurent Demanet, David Donoho y Lexing Ying Fast Discrete Curvelet Transformations
- Jianwei Ma, Gerlind Plonka , The Curvelet Transform : Revista de procesamiento de señales IEEE, 2010, 27 (2), 118-133.
- Jean-Luc Starck, Emmanuel J. Candès y David L. Donoho, The Curvelet Transform for Image Denoising,: IEEE Transactions on Image Processing, vol. 11, No. 6, junio de 2002