En el análisis matemático aplicado, los shearlets son un marco multiescala que permite la codificación eficiente de características anisotrópicas en clases de problemas multivariantes . Originalmente, los shearlets se introdujeron en 2006 [1] para el análisis y la aproximación escasa de funciones.. Son una extensión natural de las ondas , para acomodar el hecho de que las funciones multivariadas están típicamente gobernadas por características anisotrópicas como los bordes en las imágenes, ya que las ondas, como objetos isotrópicos, no son capaces de capturar tales fenómenos.
Los shearlets se construyen mediante escalado parabólico , corte y traslación aplicados a algunas funciones generadoras . En escalas finas, se apoyan esencialmente dentro de crestas delgadas y direccionales siguiendo la ley de escala parabólica, que dice longitud² ≈ ancho . Al igual que las wavelets, las shearlets surgen del grupo afín y permiten un tratamiento unificado del continuo y la situación digital que conduce a implementaciones fieles. Aunque no constituyen una base ortonormal para, todavía forman un marco que permite expansiones estables de funciones arbitrarias.
Una de las propiedades más importantes de los shearlets es su capacidad para proporcionar aproximaciones óptimamente escasas (en el sentido de optimalidad en [2] ) para funciones tipo caricatura. . En las ciencias de la imagen, las funciones similares a dibujos animados sirven como modelo para las características anisotrópicas y son compatibles de forma compacta en mientras estaba aparte de un cerrado a trozos Curva de singularidad con curvatura acotada. La tasa de desintegración del-error del aproximación de cizalla de término obtenida tomando el coeficientes más grandes de la expansión de corte es de hecho óptimo hasta un factor logarítmico: [3] [4]
donde la constante depende sólo de la curvatura máxima de la curva de singularidad y las magnitudes máximas de , y . Esta tasa de aproximación mejora significativamente la mejor-Tasa de aproximación de término de wavelets que proporcionan solo para tal clase de funciones.
Hasta la fecha, los shearlets son el único sistema de representación direccional que proporciona una aproximación escasa de características anisotrópicas al tiempo que proporciona un tratamiento unificado del continuo y el ámbito digital que permite una implementación fiel. Extensiones de sistemas de cizalla paratambién están disponibles. Se puede encontrar una presentación completa de la teoría y las aplicaciones de los shearlets en. [5]
Definición
Sistemas continuos de cizalla
La construcción de sistemas de cizalla continua se basa en matrices de escalado parabólico.
como un medio para cambiar la resolución, en matrices de corte
como un medio para cambiar la orientación, y finalmente en las traducciones para cambiar el posicionamiento. En comparación con las curvillas , las cizallas utilizan cizallas en lugar de rotaciones, con la ventaja de que el operador de cizalladeja la celosía entera invariante en caso de, es decir, De hecho, esto permite un tratamiento unificado del continuo y el ámbito digital, garantizando así una implementación digital fiel.
Para el sistema continuo de cizalla generado por entonces se define como
y la correspondiente transformada de corte continuo viene dada por el mapa
Sistemas de cizalla discretos
Se puede obtener una versión discreta de los sistemas shearlet directamente de por discretizar el conjunto de parámetros Existen numerosos enfoques para esto, pero el más popular es el que ofrece
A partir de esto, el sistema de cizallamiento discreto asociado con el generador de cizallamiento es definido por
y la transformada de corte discreta asociada se define por
Ejemplos de
Dejar ser una función que satisfaga la condición discreta de Calderón , es decir,
con y dónde denota la transformada de Fourier de Por ejemplo, uno puede elegir ser un wavelet de Meyer . Además, deja ser tal que y
Uno suele elegir para ser una función de golpe suave . Luego dada por
se llama shearlet clásico . Se puede demostrar que el correspondiente sistema de cizalla discretaconstituye un marco Parseval paraque consta de funciones de banda limitada . [5]
Otro ejemplo se compacta apoyada sistemas shearlet, donde una función de soporte compacto puede ser elegido para que forma un marco para. [4] [6] [7] [8] En este caso, todos los elementos shearlet entienen un soporte compacto que proporciona una localización espacial superior en comparación con los shearlets clásicos, que están limitados por banda. Aunque un sistema de cizalla con soporte compacto generalmente no forma un marco Parseval, cualquier función puede ser representado por la expansión shearlet debido a su propiedad de marco.
Cizallas adaptadas al cono
Un inconveniente de los cortes definidos anteriormente es el sesgo direccional de los elementos de corte asociados con grandes parámetros de corte. Este efecto ya es reconocible en el mosaico de frecuencia de shearlets clásicos (vea la Figura en la Sección #Ejemplos ), donde el soporte de frecuencia de un shearlet se alinea cada vez más a lo largo del-eje como parámetro de corte va al infinito. Esto causa serios problemas al analizar una función cuya transformada de Fourier se concentra alrededor del-eje.
Para hacer frente a este problema, el dominio de la frecuencia se divide en una parte de baja frecuencia y dos regiones cónicas (consulte la Figura):
El sistema de cizallamiento discreto adaptado al cono asociado consta de tres partes, cada una de las cuales corresponde a uno de estos dominios de frecuencia. Es generado por tres funcionesy un factor de muestreo de celosía
dónde
con
Los sistemas y básicamente difieren en los roles invertidos de y . Por lo tanto, corresponden a las regiones cónicas. y , respectivamente. Finalmente, la función de escala está asociado con la parte de baja frecuencia .
Aplicaciones
- Procesamiento de imágenes e informática [5]
- Denoising
- Problemas inversos
- Mejora de la imagen
- Detección de bordes
- En pintura
- Separación de imágenes
- PDE [5]
- Resolución del conjunto de frente de onda
- Ecuaciones de transporte
- Teoría de la coorbita , caracterización de espacios de suavidad [5]
- Geometría diferencial : aprendizaje múltiple
Generalizaciones y extensiones
- Cizallas 3D [7] [9]
- -Shearlets [7]
- Moléculas parabólicas [10]
Ver también
- Transformada wavelet
- Transformada de Curvelet
- Transformada Contourlet
- Transformación de bandelet
- Transformación de chirplet
- Transformación de ruido
Referencias
- ^ Guo, Kanghui, Gitta Kutyniok y Demetrio Labate. "Representaciones multidimensionales dispersas utilizando operadores de dilatación y cizallamiento anisotrópicos". Wavelets y splines (Athens, GA, 2005), G. Chen y MJ Lai, eds., Nashboro Press, Nashville, TN (2006): 189-201. "PDF" (PDF) .
- ^ Donoho, David Leigh. "Componentes escasos de imágenes y descomposiciones atómicas óptimas". Aproximación constructiva 17.3 (2001): 353–382. "PDF". CiteSeerX 10.1.1.379.8993 .
- ^ Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "Representación multidimensional óptimamente dispersa utilizando shearlets". Revista SIAM sobre análisis matemático 39.1 (2007): 298–318. "PDF" (PDF) .
- ^ a b Kutyniok, Gitta y Wang-Q Lim. "Las cizallas con soporte compacto son óptimamente escasas". Revista de teoría de la aproximación 163.11 (2011): 1564-1589. "PDF" (PDF) .
- ^ a b c d e Kutyniok, Gitta y Demetrio Labate, eds. Shearlets: análisis multiescala para datos multivariados . Springer, 2012, ISBN 0-8176-8315-1
- ^ Kittipoom, Pisamai, Gitta Kutyniok y Wang-Q Lim. "Construcción de pórticos de shearlet de soporte compacto". Aproximación constructiva 35.1 (2012): 21–72. Kittipoom, P .; Kutyniok, G .; Lim, W. (2010). "PDF". arXiv : 1003.5481 [ math.FA ].
- ^ a b c Kutyniok, Gitta , Jakob Lemvig y Wang-Q Lim. "Aproximaciones óptimamente escasas de funciones 3D mediante marcos shearlet con soporte compacto". Revista SIAM sobre análisis matemático 44.4 (2012): 2962–3017. Kutyniok, Gitta; Lemvig, Jakob; Lim, Wang-Q (2011). "PDF". arXiv : 1109.5993 [ math.FA ].
- ^ Purnendu Banerjee y BB Chaudhuri, "Localización de texto de vídeo mediante transformaciones Wavelet y Shearlet", en Proc. SPIE 9021, Reconocimiento y recuperación de documentos XXI, 2014 (doi: 10.1117 / 12.2036077). Banerjee, Purnendu; Chaudhuri, BB (2013). "PDF". arXiv : 1307.4990 .
- ^ Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "La construcción de marcos lisos Parseval de shearlets". Modelización matemática de fenómenos naturales 8.01 (2013): 82–105. "PDF" (PDF) .
- ^ Grohs, Philipp y Kutyniok, Gitta . "Moléculas parabólicas". Fundamentos de las matemáticas computacionales (por aparecer) Grohs, Philipp; Kutyniok, Gitta (2012). "PDF". arXiv : 1206.1958 [ math.FA ].
enlaces externos
- Página de inicio de Gitta Kutyniok
- Página de inicio de Demetrio Labate