En geometría , el punto de Longchamps de un triángulo es un centro triangular que lleva el nombre del matemático francés Gaston Albert Gohierre de Longchamps . Es el reflejo del ortocentro del triángulo sobre el circuncentro . [1]
Definición
Deja que el triángulo dado tenga vértices , , y , frente a los lados respectivos , , y , como es la notación estándar en geometría triangular. En el artículo de 1886 en el que introdujo este punto, de Longchamps lo definió inicialmente como el centro de un círculo. ortogonal a los tres círculos , , y , dónde está centrado en con radio y los otros dos círculos se definen simétricamente. De Longchamps también mostró entonces que el mismo punto, ahora conocido como el punto de Longchamps, puede definirse de manera equivalente como el ortocentro del triángulo anticomplementario de, y que es el reflejo del ortocentro de alrededor del circuncentro. [2]
El círculo de Steiner de un triángulo es concéntrico con el círculo de nueve puntos y tiene un radio de 3/2 del perímetro del triángulo; el punto de Longchamps es el centro homotético del círculo de Steiner y el circuncírculo. [3]
Propiedades adicionales
Como reflejo del ortocentro alrededor del circuncentro, el punto de Longchamps pertenece a la línea que pasa por ambos puntos, que es la línea de Euler del triángulo dado. Por lo tanto, es colineal con todos los demás centros de triángulos en la línea de Euler, que junto con el ortocentro y el circuncentro incluyen el centroide y el centro del círculo de nueve puntos . [1] [3] [4]
El punto de Longchamp también es colineal, a lo largo de una línea diferente, con el incentro y el punto Gergonne de su triángulo. [1] [5] Los tres círculos centrados en, , y , con radios , , y respectivamente (donde es el semiperímetro ) son mutuamente tangentes, y hay dos círculos más tangentes a los tres, los círculos Soddy interno y externo; los centros de estos dos círculos también se encuentran en la misma línea con el punto de Longchamp y el incentro. [1] [3] El punto de Longchamp es el punto de coincidencia de esta línea con la línea de Euler, y con otras tres líneas definidas de manera similar a la línea que pasa por el incentro pero usando en su lugar los tres excedentes del triángulo. [3] [5]
El cúbico de Darboux se puede definir a partir del punto de Longchamps, como el lugar geométrico de los puntos tal que , el conjugado isogonal de, y el punto de Longchamps son colineales. Es la única curva cúbica invariante de un triángulo que es a la vez isogonalmente autoconjugado y centralmente simétrico; su centro de simetría es el circuncentro del triángulo. [6] El propio punto de Longchamps se encuentra en esta curva, al igual que su reflejo en el ortocentro. [1]
Referencias
- ^ a b c d e Kimberling, Clark , "X (20) = punto de Longchamps" , Enciclopedia de centros triangulares.
- ^ de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du triangle" , Journal de Mathématiques spéciales , 2. Sér. (en francés), 5 : 57–60. Véase especialmente la sección 4, "determinación del centro de Δ", págs. 58–59.
- ^ a b c d Vandeghen, A. (1964), "Mathematical Notes: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle", The American Mathematical Monthly , 71 (2): 176-179, doi : 10.2307 / 2311750 , JSTOR 2311750 , MR 1532529.
- ^ Coxeter, HSM (1995), "Algunas aplicaciones de coordenadas trilineales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 226/228: 375–388, doi : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00169-R , MR 1344576. Véase en particular la Sección 5, "Seis puntos notables en la línea de Euler", págs. 380–383.
- ^ a b Longuet-Higgins, Michael (2000), "Un punto cuádruple de concurrencia en la línea de Euler de un triángulo", The Mathematical Intelligencer , 22 (1): 54–59, doi : 10.1007 / BF03024448 , MR 1745563 , S2CID 123022896.
- ^ Gibert, Bernard, "K004 Darboux cúbico = pK (X6, X20)" , Cubics en el plano del triángulo , recuperada 06/09/2012.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "de Longchamps Point" . MathWorld .