Axiomas de peano
En lógica matemática , los axiomas de Peano , también conocidos como axiomas de Dedekind-Peano o postulados de Peano , son axiomas para los números naturales presentados por el matemático italiano del siglo XIX Giuseppe Peano . Estos axiomas se han utilizado casi sin cambios en una serie de investigaciones metamatemáticas , incluida la investigación sobre cuestiones fundamentales de si la teoría de números es coherente y completa .
La necesidad de formalizar la aritmética no se apreció bien hasta el trabajo de Hermann Grassmann , quien demostró en la década de 1860 que muchos hechos aritméticos podían derivarse de hechos más básicos sobre la operación sucesora y la inducción . [1] En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó una axiomatización de la aritmética de números naturales. [2] En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales, y en 1889, Peano publicó una versión simplificada de ellos como una colección de axiomas en su libro, Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ( latín: Arithmetices principia, nova methodo exposita ).
Los nueve axiomas de Peano contienen tres tipos de declaraciones. El primer axioma afirma la existencia de al menos un miembro del conjunto de números naturales. Los cuatro siguientes son declaraciones generales sobre la igualdad ; en los tratamientos modernos, éstos a menudo no se toman como parte de los axiomas de Peano, sino más bien como axiomas de la "lógica subyacente". [3] Los siguientes tres axiomas son enunciados de primer orden sobre números naturales que expresan las propiedades fundamentales de la operación sucesora. El noveno axioma final es un enunciado de segundo orden del principio de inducción matemática sobre los números naturales. Un sistema de primer orden más débil llamado aritmética de Peanose obtiene sumando explícitamente los símbolos de las operaciones de suma y multiplicación y reemplazando el axioma de inducción de segundo orden con un esquema de axioma de primer orden .
Cuando Peano formuló sus axiomas, el lenguaje de la lógica matemática estaba en su infancia. El sistema de notación lógica que creó para presentar los axiomas no resultó ser popular, aunque fue la génesis de la notación moderna para la pertenencia al conjunto (∈, que proviene de la ε de Peano) y la implicación (⊃, que proviene de la inversa de Peano ' C '.) Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos, que aún no era común en matemáticas; tal separación había sido introducida por primera vez en la Begriffsschrift por Gottlob Frege , publicado en 1879. [4] Peano no conocía el trabajo de Frege y recreó independientemente su aparato lógico basado en el trabajo deBoole y Schröder . [5]
Los axiomas de Peano definen las propiedades aritméticas de números naturales , generalmente representados como un conjunto N o Los símbolos no lógicos para los axiomas consistir en un símbolo constante 0 y un unario símbolo de función S .
La formulación original de Peano de los axiomas usaba 1 en lugar de 0 como el "primer" número natural, [6] mientras que los axiomas en el Formulario matemático incluyen el cero. [7]
