En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, el teorema de la densidad establece que cada pregajo de conjuntos es un colímite de prehechas representables de manera canónica. [1]
Por ejemplo, por definición, un conjunto simplicial es una gavilla en la categoría simplex Δ y un conjunto simplicial representable es exactamente de la forma
(llamado el estándar n- simple) por lo que el teorema dice: para cada conjunto simple X ,
![{\ Displaystyle X \ simeq \ varinjlim \ Delta ^ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde se ejecuta la COLIM más de una categoría de índice determinado por X .
Sea F una gavilla en una categoría C ; es decir, un objeto de la categoría functor
. Para una categoría de índice sobre la que se ejecutará un colimit, sea yo la categoría de elementos de F : es la categoría donde
- un objeto es un par
que consta de un objeto U en C y un elemento
, - un morfismo
consiste en un morfismo
en C tal que![{\displaystyle (Fu)(y)=x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Viene con el functor olvidadizo
.
Entonces F es el colimit del diagrama (es decir, un funtor)
![{\displaystyle I{\overset {p}{\to }}C\to {\widehat {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la segunda flecha es la incrustación de Yoneda :
.
Sea f el diagrama anterior. Para mostrar que el colimit de f es F , necesitamos mostrar: para cada prehecha G en C , hay una biyección natural:
![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el funtor constante con valor G y Hom a la derecha significa el conjunto de transformaciones naturales. Esto se debe a que la propiedad universal de un colimit equivale a decir
es el adjunto a la izquierda del functor diagonal
Para este fin, dejemos
sea una transformación natural. Es una familia de morfismos indexados por los objetos en I :
![{\displaystyle \alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que satisface la propiedad: para cada morfismo
en el que ,
(desde
)
El lema de Yoneda dice que hay una biyección natural
. Bajo esta biyección,
corresponde a un elemento único
. Tenemos:
![{\displaystyle (Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
porque, según el lema de Yoneda,
corresponde a
Ahora, para cada objeto U en C , sea
ser la función dada por
. Esto determina la transformación natural
; de hecho, para cada morfismo
en yo , tenemos:
![{\displaystyle (Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desde
. Claramente, la construcción
es reversible. Por eso,
es la biyección natural requerida.