Trabajar en un gráfico de coordenadas con coordenadasetiquetados del 1 al 4 respectivamente, comenzamos con la métrica en su forma más general (10 componentes independientes, cada uno de los cuales es una función uniforme de 4 variables). Se supone que la solución es esféricamente simétrica, estática y al vacío. A los efectos de este artículo, estas suposiciones se pueden establecer de la siguiente manera (consulte los enlaces correspondientes para obtener definiciones precisas):
Un espacio-tiempo estático es aquel en el que todos los componentes métricos son independientes de la coordenada temporal. (así que eso ) y la geometría del espacio-tiempo no cambia bajo una inversión de tiempo .
La primera simplificación que se debe hacer es diagonalizar la métrica. Bajo la transformación de coordenadas ,, todos los componentes métricos deben seguir siendo los mismos. Los componentes métricos () cambiar bajo esta transformación como:
( )
Pero, como esperamos (los componentes métricos siguen siendo los mismos), esto significa que:
( )
Del mismo modo, las transformaciones de coordenadas y respectivamente dan:
( )
( )
Poniendo todos estos juntos da:
( )
y por lo tanto, la métrica debe tener la forma:
donde los cuatro componentes métricos son independientes de la coordenada de tiempo (por el supuesto estático).
Simplificando los componentes
En cada hipersuperficie de constante, constante y constante (es decir, en cada línea radial), solo debería depender de (por simetría esférica). Por eso es una función de una sola variable:
Un argumento similar aplicado a muestra que:
En las hipersuperficies de constante y constante , se requiere que la métrica sea la de 2 esferas:
Elegir una de estas hipersuperficies (la que tiene radio , digamos), los componentes métricos restringidos a esta hipersuperficie (que denotamos por y ) no debe modificarse en rotaciones a través de y (de nuevo, por simetría esférica). La comparación de las formas de la métrica en esta hipersuperficie da:
que inmediatamente rinde:
y
Pero esto es necesario para sujetar cada hipersuperficie; por eso,
y
Una forma intuitiva alternativa de ver eso y debe ser el mismo que para un espacio-tiempo plano es que estirar o comprimir un material elástico de manera esféricamente simétrica (radialmente) no cambiará la distancia angular entre dos puntos.
Por lo tanto, la métrica se puede poner en la forma:
con y funciones aún indeterminadas de . Tenga en cuenta que si o es igual a cero en algún punto, la métrica sería singular en ese punto.
Cálculo de los símbolos de Christoffel
Usando la métrica anterior, encontramos los símbolos de Christoffel , donde los índices son. La señal denota una derivada total de una función.
Usando las ecuaciones de campo para encontrar A (r) y B (r)
donde se usa una coma para compensar el índice que se usa para la derivada. Solo tres de estas ecuaciones no son triviales y, al simplificarlas, se vuelven:
(la cuarta ecuación es solo multiplicado por la segunda ecuación), donde el primo significa la derivada r de las funciones. Restar la primera y tercera ecuaciones produce:
dónde es una constante real distinta de cero. Sustituyendo en la segunda ecuación y ordenar da:
que tiene solución general:
para alguna constante real distinta de cero . Por lo tanto, la métrica para una solución de vacío estática y esféricamente simétrica es ahora de la forma:
Tenga en cuenta que el espacio-tiempo representado por la métrica anterior es asintóticamente plano , es decir, como, la métrica se acerca a la métrica de Minkowski y la variedad del espacio-tiempo se parece a la del espacio de Minkowski .
Usando la aproximación de campo débil para encontrar K y S
Este diagrama proporciona la ruta para encontrar la solución de Schwarzschild utilizando la aproximación de campo débil. La igualdad en la segunda fila da g 44 = - c 2 + 2 GM / r , asumiendo que la solución deseada degenera a la métrica de Minkowski cuando el movimiento ocurre lejos del agujero negro ( r se acerca al infinito positivo).
Las geodésicas de la métrica (obtenidas donde es extremisado) debe, en algún límite (por ejemplo, hacia la velocidad infinita de la luz), concordar con las soluciones del movimiento newtoniano (por ejemplo, obtenido por las ecuaciones de Lagrange ). (La métrica también debe limitarse al espacio de Minkowski cuando la masa que representa desaparece).
(dónde es la energía cinética y es la energía potencial debida a la gravedad) Las constantes y están completamente determinados por alguna variante de este enfoque; de la aproximación de campo débil se llega al resultado:
dónde es la constante gravitacional , es la masa de la fuente gravitacional y es la velocidad de la luz. Se ha encontrado que:
y
Por eso:
y
Entonces, la métrica de Schwarzschild finalmente se puede escribir en la forma:
Tenga en cuenta que:
es la definición del radio de Schwarzschild para un objeto de masa, por lo que la métrica de Schwarzschild se puede reescribir en la forma alternativa:
que muestra que la métrica se vuelve singular acercándose al horizonte de eventos (es decir,). La singularidad métrica no es física (aunque hay una singularidad física real en), como se puede demostrar utilizando una transformación de coordenadas adecuada (por ejemplo, el sistema de coordenadas de Kruskal-Szekeres ).
Derivación alternativa usando física conocida en casos especiales
La métrica de Schwarzschild también se puede derivar utilizando la física conocida para una órbita circular y una masa puntual temporalmente estacionaria. [1] Comience con la métrica con coeficientes que son coeficientes desconocidos de:
Ahora aplique la ecuación de Euler-Lagrange a la integral de longitud de arco Desde es constante, el integrando se puede reemplazar con porque la ecuación EL es exactamente la misma si el integrando se multiplica por cualquier constante. Aplicando la ecuación EL a con el integrando modificado produce:
donde el punto denota diferenciación con respecto a
En una órbita circular por lo que la primera ecuación EL anterior es equivalente a
En una órbita circular, el período es igual a Insinuando
desde la masa puntual es insignificante en comparación con la masa del cuerpo central Entonces e integrando esto rinde dónde es una constante desconocida de integración. se puede determinar configurando en cuyo caso el espacio-tiempo es plano y Entonces y
Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria, y La ecuación métrica original se convierte en y la primera ecuación EL anterior se convierte en Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria, es la aceleración de la gravedad , Entonces
Forma alternativa en coordenadas isotrópicas
La formulación original de la métrica utiliza coordenadas anisotrópicas en las que la velocidad de la luz no es la misma en las direcciones radial y transversal. Arthur Eddington dio formas alternativas en coordenadas isotrópicas . [2] Para coordenadas esféricas isotrópicas, , , coordenadas y no se modifican, y luego (siempre ) [3]
, , y
Luego, para coordenadas rectangulares isotrópicas , , ,
La métrica se convierte entonces, en coordenadas rectangulares isotrópicas:
Prescindir de la suposición estática: el teorema de Birkhoff
Al derivar la métrica de Schwarzschild, se asumió que la métrica era vacío, esféricamente simétrica y estática . De hecho, la suposición estática es más fuerte de lo requerido, ya que el teorema de Birkhoff establece que cualquier solución de vacío esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein es estacionaria ; luego se obtiene la solución de Schwarzschild. El teorema de Birkhoff tiene como consecuencia que cualquier estrella pulsante que permanezca esféricamente simétrica no puede generar ondas gravitacionales (ya que la región exterior a la estrella debe permanecer estática).
^ AS Eddington, "Teoría matemática de la relatividad" , Cambridge UP 1922 (2a edición, 1924, repr. 1960), en la página 85 y la página 93 . El uso de símbolos en la fuente de Eddington para el intervalo sy la coordenada similar al tiempo t se ha convertido para compatibilidad con el uso en la derivación anterior.
^Buchdahl, HA (1985). "Coordenadas isotrópicas y métrica de Schwarzschild". Revista Internacional de Física Teórica . 24 (7): 731–739. Código bibliográfico : 1985IJTP ... 24..731B . doi : 10.1007 / BF00670880 .