En matemáticas , un círculo de Ford es un círculo con el centro eny radio dónde es una fracción irreducible , es decir y son enteros coprimos . Cada círculo de Ford es tangente al eje horizontaly dos círculos de Ford cualesquiera son tangentes o separados entre sí. [1]
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Historia
Los círculos de Ford son un caso especial de círculos mutuamente tangentes; la línea de base se puede considerar como un círculo con radio infinito. Apolonio de Perge estudió los sistemas de círculos mutuamente tangentes , en cuyo honor se nombra el problema de Apolonio y la junta apolínea . [2] En el siglo XVII, René Descartes descubrió el teorema de Descartes , una relación entre los recíprocos de los radios de círculos mutuamente tangentes. [2]
Los círculos de Ford también aparecen en los Sangaku (rompecabezas geométricos) de las matemáticas japonesas . Un problema típico, que se presenta en una tableta de 1824 en la prefectura de Gunma , cubre la relación de tres círculos en contacto con una tangente común . Dado el tamaño de los dos círculos grandes externos, ¿cuál es el tamaño del círculo pequeño entre ellos? La respuesta es equivalente a un círculo de Ford: [3]
Los círculos de Ford llevan el nombre del matemático estadounidense Lester R. Ford, Sr. , quien escribió sobre ellos en 1938. [1]
Propiedades
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El círculo de Ford asociado con la fracción se denota por o Hay un círculo de Ford asociado con cada número racional . Además, la línease cuenta como un círculo de Ford; se puede considerar como el círculo de Ford asociado con el infinito , que es el caso
Dos círculos de Ford diferentes están separados o son tangentes entre sí. No hay dos interiores de círculos de Ford que se crucen, aunque hay un círculo de Ford tangente al eje x en cada punto con coordenadas racionales . Si está entre 0 y 1, los círculos de Ford que son tangentes a se puede describir de diversas formas como
- los círculos dónde [1]
- los círculos asociados con las fracciones que son los vecinos de en alguna secuencia de Farey , [1] o
- los círculos dónde es el próximo antepasado más grande o el próximo más pequeño de en el árbol Stern-Brocot o donde es el siguiente antepasado más grande o más pequeño de . [1]
Si y son dos círculos tangentes de Ford, luego el círculo a través y (las coordenadas x de los centros de los círculos de Ford) y que es perpendicular a la -axis (cuyo centro está en el eje x) también pasa por el punto donde los dos círculos son tangentes entre sí.
Los círculos de Ford también se pueden considerar como curvas en el plano complejo . El grupo modular de transformaciones del plano complejo asigna los círculos de Ford a otros círculos de Ford. [1]
Los círculos de Ford son un subconjunto de los círculos en la junta apolínea generados por las líneas y y el circulo [4]
Al interpretar la mitad superior del plano complejo como un modelo del plano hiperbólico (el modelo del semiplano de Poincaré ), los círculos de Ford pueden interpretarse como horociclos . En geometría hiperbólica, dos horociclos cualesquiera son congruentes . Cuando estos horociclos están circunscritos por apeirogones , enlosan el plano hiperbólico con un mosaico apeirogonal de orden 3 .
La última pregunta del examen 2015A AMC es encontrar la suma de los recíprocos de las circunferencias de los círculos de Ford. [5]
Área total de círculos Ford
Existe un vínculo entre el área de los círculos de Ford, la función totient de Euler la función zeta de Riemann y la constante de Apéry [6] Como no se cruzan dos círculos de Ford, se deduce inmediatamente que el área total de los círculos de Ford
es menor que 1. De hecho, el área total de estos círculos de Ford viene dada por una suma convergente, que puede evaluarse. De la definición, el área es
Simplificar esta expresión da
donde la última igualdad refleja la función generadora de Dirichlet para la función totient de Euler Desde esto finalmente se convierte en
Tenga en cuenta que, por convención, los cálculos anteriores excluyeron el círculo de radio correspondiente a la fracción . Incluye el círculo completo para, la mitad del cual se encuentra fuera del intervalo unitario, por lo que la suma sigue siendo la fracción del cuadrado unitario cubierto por los círculos de Ford.
Esferas Ford (3D)
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El concepto de círculos de Ford se puede generalizar desde los números racionales a los racionales gaussianos , dando esferas de Ford. En esta construcción, los números complejos están incrustados como un plano en un espacio euclidiano tridimensional , y para cada punto racional gaussiano en este plano se construye una esfera tangente al plano en ese punto. Para un racional gaussiano representado en términos mínimos como, el diámetro de esta esfera debe ser dónde representa el complejo conjugado de. Las esferas resultantes son tangentes para pares de racionales gaussianos y con y, de lo contrario, no se cruzan entre sí. [7] [8]
Ver también
- Junta apolínea : un fractal con infinitos círculos mutuamente tangenciales en un círculo en lugar de en una línea.
- Cadena Steiner
- Cadena de pappus
Referencias
- ^ a b c d e f Ford, LR (1938), "Fractions", The American Mathematical Monthly , 45 (9): 586–601, doi : 10.2307 / 2302799 , JSTOR 2302799 , MR 1524411.
- ^ a b Coxeter, HSM (1968), "El problema de Apolonio", The American Mathematical Monthly , 75 : 5–15, doi : 10.2307 / 2315097 , MR 0230204.
- ^ Fukagawa, Hidetosi; Pedoe, Dan (1989), problemas de geometría de templos japoneses , Winnipeg, MB: Charles Babbage Research Center, ISBN 0-919611-21-4, MR 1044556.
- ^ Graham, Ronald L .; Lagarias, Jeffrey C .; Malvas, Colin L .; Wilks, Allan R .; Yan, Catherine H. (2003), "Empaquetaduras de círculo apolíneo: teoría de números", Journal of Number Theory , 100 (1): 1–45, arXiv : math.NT / 0009113 , doi : 10.1016 / S0022-314X (03) 00015-5 , MR 1971245.
- ^ "Arte de la resolución de problemas" . artofproblemsolving.com . Consultado el 24 de enero de 2019 .
- ^ Marszalek, Wieslaw (2012), "Circuitos con secuencias de Farey jerárquicas oscilatorias y propiedades fractales", Circuitos, sistemas y procesamiento de señales , 31 (4): 1279–1296, doi : 10.1007 / s00034-012-9392-3.
- ^ Pickover, Clifford A. (2001), "Capítulo 103. Belleza y números racionales gaussianos", Maravillas de los números: Aventuras en matemáticas, mente y significado , Oxford University Press, págs. 243–246, ISBN 9780195348002.
- ^ Northshield, Sam (2015), círculos y esferas de Ford , arXiv : 1503.00813 , código Bib : 2015arXiv150300813N.
enlaces externos
- Círculos conmovedores de Ford en el corte del nudo
- Weisstein, Eric W. "Ford Circle" . MathWorld .
- Bonahon, Francis . "Fracciones divertidas y círculos de Ford" (video de YouTube) . Brady Haran . Consultado el 9 de junio de 2015 .