Punto antípoda
En matemáticas , los puntos antípodas de una esfera son aquellos diametralmente opuestos entre sí (las cualidades específicas de tal definición son que una línea trazada de uno a otro pasa por el centro de la esfera, por lo que forma un diámetro verdadero). [1]
Un punto antípoda a veces se denomina antípoda , una formación posterior de la palabra prestada griega antípodas , que significa "frente a (los) pies", ya que la verdadera palabra singular es antipus .
En matemáticas , el concepto de puntos antípodas se generaliza a esferas de cualquier dimensión: dos puntos de la esfera son antípodas si son opuestos por el centro ; por ejemplo, tomando como origen el centro , son puntos con vectores relacionados vy − v . En un círculo , tales puntos también se llaman diametralmente opuestos . En otras palabras, cada línea que pasa por el centro interseca a la esfera en dos puntos, uno para cada rayo que sale del centro, y estos dos puntos son antípodas.
El teorema de Borsuk-Ulam es el resultado de la topología algebraica que trata con tales pares de puntos. Dice que cualquier función continua de S n a R n asigna algún par de puntos antípodas en S n al mismo punto en R n . Aquí, S n denota la esfera n -dimensional en ( n + 1) - espacio dimensional (por lo que la esfera "ordinaria" es S 2 y un círculo es S 1 ).
El mapa antípoda A : S n → S n , definido por A ( x ) = − x , envía cada punto de la esfera a su punto antípoda. Es homotópico al mapa de identidad si n es impar y su grado es (−1) n +1 .
Si uno quiere considerar los puntos antípodas como identificados, uno pasa al espacio proyectivo (ver también espacio proyectivo de Hilbert , para esta idea aplicada en la mecánica cuántica ).
