La diffeomorfometría es el estudio métrico de imágenes, formas y formas en la disciplina de anatomía computacional (AC) en imágenes médicas . El estudio de imágenes en anatomía computacional se basa en grupos de difeomorfismos de alta dimensión. que generan órbitas de la forma , en que imagenes pueden ser imágenes de resonancia magnética escalar densa o imágenes de tomografía axial computarizada . Para formas deformables, esta es la colección de colectores. , puntos, curvas y superficies . Los difeomorfismos mueven las imágenes y formas a través de la órbita de acuerdo conque se definen como las acciones grupales de la anatomía computacional .
La órbita de formas y formas se convierte en un espacio métrico induciendo una métrica en el grupo de difeomorfismos. El estudio de métricas sobre grupos de difeomorfismos y el estudio de métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación significativa. [1] [2] [3] [4] [5] [6] En Anatomía Computacional, la métrica de difeomorfometría mide qué tan cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí. De manera informal, la métrica se construye definiendo un flujo de difemorfismos que conectan los elementos del grupo de uno a otro, por lo que para luego . La métrica entre dos sistemas de coordenadas o difeomorfismos es entonces la longitud más corta o el flujo geodésico que los conecta. La métrica del espacio asociado a las geodésicas viene dada por. Las métricas en las órbitas se heredan de la métrica inducida en el grupo de difeomorfismo.
El grupo se convierte así en una variedad riemanniana suave con métrica riemanniana asociado a los espacios tangentes en absoluto . La métrica de Riemann satisface en cada punto de la variedadhay un producto interno que induce la norma en el espacio tangente que varía suavemente a lo largo de .
A menudo, la métrica euclidiana familiar no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial . En el modelo de órbita de Riemann de anatomía computacional , difeomorfismos que actúan sobre las formasno actúes linealmente. Hay muchas formas de definir métricas, y para los conjuntos asociados a formas, la métrica de Hausdorff es otra. El método utilizado para inducir la métrica de Riemann es inducir la métrica en la órbita de las formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre las transformaciones del sistema de coordenadas difeomórficas de los flujos. La medición de las longitudes del flujo geodésico entre los sistemas de coordenadas en la órbita de las formas se llama difeomorfometría .
El grupo de difeomorfismos generado como flujos lagrangianos y eulerianos
Los difeomorfismos en anatomía computacional se generan para satisfacer la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo ,, generado a través de la ecuación diferencial ordinaria
( Flujo lagrangiano )
con los campos vectoriales eulerianos en por . La inversa del flujo viene dada por y el Matriz jacobiana para flujos en dado como
Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inverso, los campos vectoriales debe ser al menos 1 vez continuamente diferenciable en el espacio [7] [8] que se modelan como elementos del espacio de Hilbertutilizando los teoremas de incrustación de Sobolev para que cada elemento tiene derivadas integrables de 3 cuadrados, por lo tanto, implica se integra sin problemas en funciones continuamente diferenciables de una sola vez. [7] [8] El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:
( Grupo de difeomorfismo )
El modelo de órbita de Riemann
Las formas en anatomía computacional (CA) se estudian mediante el uso de mapas difeomórficos para establecer correspondencias entre sistemas de coordenadas anatómicas. En este entorno, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como transformaciones diffemórficas de algún ejemplo, denominado plantilla, Lo que resulta en las imágenes observadas a ser elementos del azar modelo de órbita de la AC . Para las imágenes, estos se definen como, con para gráficos que representan sub-colectores denotados como .
La métrica de Riemann
La órbita de formas y formas en Anatomía Computacional son generadas por la acción grupal , . Estos se convierten en órbitas riemannianas mediante la introducción de una métrica asociada a cada punto y al espacio tangente asociado. Para esto, se define una métrica en el grupo que induce la métrica en la órbita. Tome como métrica para la anatomía computacional en cada elemento del espacio tangente en el grupo de difeomorfismos
con los campos vectoriales modelados para estar en un espacio de Hilbert con la norma en el espacio de Hilbert . Modelamoscomo un espacio de Hilbert del núcleo de reproducción (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1, dónde es el espacio dual. En general, es una función o distribución generalizada, la forma lineal asociada al producto interno y la norma para funciones generalizadas se interpretan por integración por partes de acuerdo con para ,
Cuándo , una densidad vectorial,
El operador diferencial se selecciona para que el núcleo de Green asociado a la inversa sea lo suficientemente suave como para que los campos vectoriales admitan una derivada continua 1 . Los argumentos del teorema de incrustación de Sobolev se hicieron para demostrar que se requiere una derivada continua 1 para flujos suaves. El de Green operador generada a partir de la función de Green (caso escalar) asociados a los suaviza operador diferencial.
Para una correcta elección de luego es un RKHS con el operador . Los núcleos de Green asociados al operador diferencial se suavizan ya que para controlar suficientes derivadas en el sentido cuadrado-integral el núcleo es continuamente diferenciable en ambas variables lo que implica
La difeomorfometría del espacio de formas y formas
La métrica invariante a la derecha sobre difeomorfismos
La métrica del grupo de difeomorfismos se define por la distancia definida en pares de elementos en el grupo de difeomorfismos según
| ( difeomorfismos métricos ) |
Esta distancia proporciona una métrica invariante a la derecha de difeomorfometría, [9] [10] [11] invariante a la reparametrización del espacio ya que para todos,
La métrica de formas y formas
La distancia en las imágenes, [12] ,
| ( formas-métricas-formas ) |
La distancia en formas y formas, [13] ,
| ( formas-métricas-formas ) |
La métrica de los flujos geodésicos de puntos de referencia, superficies y volúmenes dentro de la órbita.
Para calcular la métrica, las geodésicas son un sistema dinámico, el flujo de coordenadas y el control del campo vectorial relacionado a través de La vista hamiltoniana [14] [15] [16] [17] [18] reparametriza la distribución del momentoen términos del impulso hamiltoniano , un multiplicador de Lagrange restringir la velocidad de Lagrange .respectivamente:
El principio máximo de Pontryagin [14] da al hamiltoniano El campo vectorial de optimización con dinámica . A lo largo de la geodésica, el hamiltoniano es constante: [19]. La distancia métrica entre los sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica determinada por la distancia inducida entre la identidad y el elemento del grupo:
Geodésicas de puntos de referencia o puntos
Para puntos de referencia ,, el impulso hamiltoniano
con la dinámica hamiltoniana tomando la forma
con
La métrica entre puntos de referencia
La dinámica asociada a estas geodésicas se muestra en la figura adjunta.
Geodésicas de superficie
Para las superficies , el momento hamiltoniano se define a través de la superficie tiene hamiltoniano
y dinámica
- La métrica entre las coordenadas de la superficie
Geodésicas de volumen
Para los volúmenes del hamiltoniano
con dinámica
- La métrica entre volúmenes
Software para mapeo difeomórfico
Las suites de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen lo siguiente:
- Deformetrica [20]
- HORMIGAS [21]
- DARTEL [22] Morfometría basada en vóxeles (VBM)
- DEMONIOS [23]
- LDDMM [24]
- EstacionarioLDDMM [25]
Software en la nube
- MRICloud [26]
Referencias
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