Diffiety

En matemáticas , un diffiety ( / d ə f aɪ ə ˌ t i / ) es un objeto geométrico introducido por Alexandre Mikhailovich Vinogradov ^[1] jugar el mismo papel en la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales como variedades algebraicas juegan para las ecuaciones algebraicas.

Definición

Para definir una diferencia, necesitamos adoptar un enfoque geométrico para la descripción de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Esto requiere las nociones de espacios de chorro, prolongación y distribución de Cartan que se presentarán a continuación. El lector familiarizado con esas nociones puede pasar directamente a la definición .

Espacios Jet

Sea una variedad lisa dimensional.${\displaystyle E}$${\displaystyle m+e}$ Se dice que las subvariedades bidimensionales de tienen el mismo orden de -ésimo Jet en si son tangentes hacia arriba .${\displaystyle m}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [M]_{p}^{k}}$${\displaystyle p\in M\cap M'\subset E}$${\displaystyle k}$ (Ser tangente al orden${\displaystyle k}$ significa que si uno describe localmente las subvariedades como imágenes de secciones, entonces las derivadas de esas secciones concuerdan con el orden ).${\displaystyle k}$

${\displaystyle M}$y tienen el mismo 1 chorro mientras y tienen el mismo 3 chorro.${\displaystyle M'}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M''}$

Se puede demostrar que ser tangente al orden${\displaystyle k}$ es una noción de coordenadas invariantes y una relación de equivalencia ^[2] . Por tanto, un jet es una clase de equivalencia. Podemos usar jets para definir espacios de jet.

El espacio de chorro se define como el conjunto de todos los chorros de orden de subvariedades dimensionales en todos los puntos de , es decir${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle J^{k}(E,m):=\{[M]_{p}^{k}~|~M\ni p,~{\text{dim}}(M)=m,~p\in E\}}$

Se puede demostrar que los Jet Spaces están naturalmente dotados de la estructura de un colector suave ^[2] .

Comentario sobre la relación de Jet Spaces y Jet Bundles.

En lugar de considerar los chorros de los sub-colectores como se indicó anteriormente, a menudo basta con definir los chorros de las secciones de un colector con fibras . En este caso, se pueden describir las subvariedades que están horizontales a la proyección como imágenes de secciones de la variedad fibrosa. Un chorro de secciones es entonces una clase de equivalencia de secciones que son tangentes hasta el orden en algún punto . Esto da lugar a la definición de un Jet Bundle, que es una construcción ligeramente menos general que un Jet Space. Para obtener más información, consulte la página de Wikipedia sobre paquetes Jet . ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p\in M}$

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una subvariedad de un Espacio Jet, .${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

Si se definen las soluciones como se muestra a continuación, esta definición geométrica de PDE en coordenadas locales da lugar a expresiones que se utilizan generalmente para definir PDE y sus soluciones en análisis matemático .

Prolongación

La prolongación -jet de una subvariedad , es la incrustación dada por${\displaystyle k}$${\displaystyle M\subset E}$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m)}$${\displaystyle j^{k}(M)(p):=[M]_{p}^{k}.}$Además, digamos que es una prolongación de la subvariedad .${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$${\displaystyle M}$

Además, se pueden definir prolongaciones de ecuaciones, es decir, de subvariedades de espacios Jet. Con este fin, considere una ecuación diferencial . A uno le gustaría que la -ésima prolongación de una ecuación de orden fuera una ecuación de orden , es decir, una subvariedad del espacio del jet . Para lograr esto, uno primero construye el espacio jet sobre subvariedades -dimensional de . A medida que se inserta en , siempre se puede integrar de forma natural en . Pero dado que este último es el espacio de chorros repetidos de subvariedades de , siempre se puede incrustar en . Como resultado, al considerar ambos y como subespacios de${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k+l}$${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle J^{l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$, su intersección está bien definida. Se utiliza para la definición de prolongación de .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

La -ésima prolongación de una ecuación diferencial se define como${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)}$

Sin embargo, tenga en cuenta que tal intersección no es necesariamente una variedad nuevamente (es decir, no siempre existe en la categoría de variedades suaves). Por lo tanto, generalmente se requiere ser lo suficientemente amable como para que al menos su primera prolongación sea de hecho una subvariedad de .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

También se puede demostrar que esta definición todavía tiene sentido, incluso cuando llega al infinito.${\displaystyle k}$

Distribución de Cartan

Tenga en cuenta que a continuación, una distribución no se entiende en el sentido de funciones generalizadas, pero se considera que es un subconjunto del paquete tangente, como se suele hacer cuando se consideran distribuciones en geometría diferencial .

Un plano en un punto se define como un subespacio del espacio tangente de la forma para cualquier subvariedad de (cuya prolongación contiene el punto ).${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$${\displaystyle T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta }$

El intervalo de todos los planos en un punto se denota mediante . El mapa${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$se llama Cartan Distribution ( activado ).${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

La distribución de Cartan es importante en el enfoque álgebro-geométrico de las ecuaciones diferenciales porque permite definir soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales en términos puramente geométricos.

Una solución generalizada de una ecuación diferencial se define como una subvariedad -dimensional que cumple para todos .${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$${\displaystyle \theta \in S}$

También se puede mirar la distribución de Cartan de una subvariedad de sin necesidad de considerarla en su interior . Para hacerlo, se define la restricción de la Distribución a una subvariedad de la siguiente manera.${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

Si , entonces su Distribución Cartan está definida por${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}})~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$

En este sentido, el par codifica la información sobre las soluciones (generalizadas) de la ecuación diferencial .${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Definición de una dificultad

En Geometría Algebraica los principales objetos de estudio son variedades que incluyen todas las consecuencias algebraicas de un sistema de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, si se considera el lugar geométrico cero de un conjunto de polinomios, aplicar operaciones algebraicas a este conjunto (como sumar esos polinomios entre sí o multiplicarlos por cualquier otro polinomio) dará lugar al mismo lugar geométrico cero, es decir, se puede realmente considere el lugar geométrico cero del ideal algebraico del conjunto inicial de polinomios.

Ahora bien, en el caso de las ecuaciones diferenciales, además de aplicar operaciones algebraicas, también se tiene la opción de diferenciar. Por tanto, el análogo diferencial de una variedad debería ser como un ideal diferencial y debería incluir todas las consecuencias diferenciales . El objeto natural que sí incluye las consecuencias diferenciales de una ecuación es su prolongación infinita . En general, puede tener una dimensión infinita. Además, uno quisiera prestar atención a la estructura geométrica de la distribución de Cartan definida anteriormente. Por lo tanto, el par se define como un elemental diff var diferencial iety , o, para abreviar, como un elemental diffiety . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$

Si es una ecuación diferencial de -ésimo orden, su diferencia elemental es el par .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$

Tenga en cuenta que al considerar una ecuación diferencial , se puede demostrar que la distribución de Cartan es exactamente -dimensional a diferencia del caso de un número finito de prolongaciones.${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle m}$

Las diferencias elementales son objetos geométricos que juegan el mismo papel en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales que las variedades algebraicas afines en la teoría de ecuaciones algebraicas. Así como las variedades o esquemas se componen de variedades afines irreductibles o esquemas afines , también se puede definir una diferencia (no elemental) como un objeto que localmente parece una diferencia elemental.

Suponga que es una variedad dimensional generalmente infinita equipada con un álgebra de función suave y una distribución dimensional finita . Una diffiety es un triple que es localmente de la forma donde es una ecuación diferencial , denota la clase de funciones infinitamente diferenciables en y localmente significa una localización adecuada con respecto a la topología de Zariski correspondiente al álgebra .${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },C^{\infty }({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

Los mapas que se dice que preservan la distribución de Cartan son mapas suaves que son tales que el avance en actúa de la siguiente manera:${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$${\displaystyle d_{\theta }\Phi }$${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle d_{\theta }\Phi (v\in {\mathcal {C}}_{\theta })\in {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

Las diferencias junto con los mapas que conservan la distribución de Cartan son los objetos y morfismos de la categoría de ecuaciones diferenciales definidas por Vinogradov. En Vinogradov (2001) se ofrece una introducción detallada al tema .

Aplicaciones

Secuencia de vinogradov

La secuencia espectral de Vinogradov${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (o, para abreviar, secuencia de Vinogradov ) es una secuencia espectral relacionada con la distribución de Cartan que Vinogradov inventó ^[3] para calcular ciertas propiedades del espacio de solución formal de una ecuación diferencial. Se pueden utilizar diferencias para formularlo.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Suponga que es una dificultad. Ahora define ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

terminar el álgebra de formas diferenciales . Considere el correspondiente complejo de Rham:${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

Sus grupos de cohomología contienen información estructural sobre el PDE. Sin embargo, debido al Lemma de Poincaré, todos desaparecen localmente. Para extraer mucha más información e incluso local, es necesario tener en cuenta la distribución de Cartan. Esto es lo que facilitará la secuencia de Vinogradov. Con este fin, dejemos ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

ser el submódulo de formas diferenciales sobre cuya restricción a la distribución se desvanece. Esto significa${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}})\ni w\Leftrightarrow w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}}).}$

En realidad, es un llamado ideal diferencial, ya que es estable con respecto al diferencial de De Rham, es decir .${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

Ahora sea ​​su -ésima potencia, es decir, el subespacio lineal de generado por . Entonces se obtiene una filtración${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

y dado que todos los ideales son estables, esta filtración determina completamente una secuencia espectral. (Para obtener más información sobre cómo funcionan las secuencias espectrales, consulte secuencia espectral ). Denotamos esta secuencia por${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q})}$

La filtración anterior es finita en cada grado, eso significa

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0}$

Si la filtración es finita en este sentido, entonces la secuencia espectral converge a la cohomología de De Rham (de la diffiety). Por lo tanto, ahora se pueden analizar los términos de la secuencia espectral orden por orden. Esto se hace, por ejemplo, en el capítulo 5 de Krasilshchik (1999) . Aquí solo se resumirá qué información está contenida en la secuencia de Vinogradov.${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$ harvtxt error: no target: CITEREFKrasilshchik1999 (help)

1. ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$corresponde a los funcionales de acción restringidos por la PDE y para , la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
2. ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$corresponde a las leyes de conservación para soluciones de .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
3. ${\displaystyle E_{2}}$se interpreta como clases características de bordismos de soluciones de .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
4. Aún quedan muchos términos pendientes de interpretación.

Comentario sobre el bicomplejo variacional.

Si se considera un haz de chorros en lugar de un espacio de chorros, entonces, en lugar de la secuencia espectral, se obtiene el bicomplejo variacional ligeramente menos general . (Cualquier bicomplejo determina dos secuencias espectrales. Una de las dos secuencias espectrales determinadas por el bicomplejo variacional es exactamente la secuencia espectral de Vinogradov . Sin embargo, el bicomplejo variacional también se desarrolló independientemente de la secuencia de Vinogradov).${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ De manera similar a los términos de la secuencia espectral, muchos de sus términos pueden recibir una interpretación física si se considera la diversidad (es decir, aproximadamente el espacio de solución de una PDE) de una teoría de campo clásica . Por ejemplo, se obtienen clases de cohomología correspondientes a funciones de acción, corrientes conservadas, cargas de calibre y otras nociones importantes en un esquema organizado de manera unificada. Dado que el artículo de Wikipedia sobre el bicomplejo variacional es actualmente bastante breve, se remite al lector al artículo de nLab para obtener más información.

Cálculo secundario

Vinogradov desarrolló una teoría, que se conoce como cálculo secundario ^{[4] [5] [6]} , formalizando en términos cohomológicos la idea de un cálculo diferencial en el espacio de soluciones de un sistema dado de PDE, o, que es más o menos lo mismo , el espacio de variedades integrales de una diferencia dada. En otras palabras, el cálculo secundario proporciona sustitutos para campos vectoriales, formas diferenciales, operadores diferenciales, etc., en un espacio (genéricamente) muy singular donde estos objetos no se pueden definir de la manera habitual (suave). (Este resumen fue tomado de la introducción de Vitagliano (2014) .) harvtxt error: no target: CITEREFVitagliano2014 (help)

En Vitagliano (2009) se analiza la relación entre el cálculo secundario y el espacio de fase covariante (que es el espacio de solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a una teoría de campo lagrangiana ). harvtxt error: no target: CITEREFVitagliano2009 (help)

Ver también

• Cálculo secundario y física cohomológica
• Ecuaciones diferenciales parciales en haces de Jet
• Ideal diferencial
• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

Otra forma de generalizar ideas a partir de la geometría algebraica es la geometría algebraica diferencial .

Referencias

• Vinogradov, AM (1978), "Una secuencia espectral asociada con una ecuación diferencial no lineal y fundamentos algebro-geométricos de la teoría de campo lagrangiana con restricciones", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 19 : 144-148
• Vinogradov, AM (1984a), "Simetrías locales y leyes de conservación", Acta Applicandae Mathematicae , 2 (1): 21–78, doi : 10.1007 / BF01405491 , MR  0736872
• Vinogradov, AM (1984b), "La secuencia espectral C, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación I, II", J. Math. Anal. Apl. , 100 : 1–129, doi : 10.1016 / 0022-247X (84) 90071-4
• Saunders, DJ (1989). La geometría de los paquetes Jet . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Vinogradov, AM (1998), "Introducción al cálculo secundario", en M. Henneaux; ES Krasil'shchik; AM Vinogradov (eds.), Cálculo secundario y física cohomológica , Matemáticas contemporáneas, 219 , American Mathematical Society, págs. 241–272, ISBN 978-0-8218-0828-3
• Krasilshchik, IS; Vinogradov, AM; Bocharov, AV; Chetverikov, VN; Duzhin, SV; Khor'kova, NG; Samokhin, AV; Torkhov, YN; Verbovetsky, AM (1999). Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática . Traducciones de Monografías Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense.
• Vinogradov, Aleksandr Mikhaĭlovich (2001), Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-2922-6
• Vitagliano, Luca (2009), "Cálculo secundario y el espacio de fase covariante", Journal of Geometry and Physics , 59 (4): 426–447, arXiv : 0809.4164 , Bibcode : 2009JGP .... 59..426V , doi : 10.1016 / j.geomphys.2008.12.001
• Vitagliano, Luca (2014), "On the Strong Homotopy Lie-Rinehart Algebra of a Foliation", Communications in Contemporary Mathematics , 16 (6): 1450007, arXiv : 1204.2467 , doi : 10.1142 / S0219199714500072

enlaces externos

• The Diffiety Institute (congelado desde 2010 pero contiene material útil relacionado)
• El Instituto Levi-Civita (sucesor del sitio anterior con información actualizada sobre escuelas de diversidad)
• Geometría de ecuaciones diferenciales

1. Vinogradov, AM (marzo de 1984). "Simetrías locales y leyes de conservación" . Acta Applicandae Mathematicae . 2 (1): 21–78. doi : 10.1007 / BF01405491 . ISSN 0167-8019 . 
2. Saunders, DJ (1989). La geometría de los paquetes Jet . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / cbo9780511526411 . ISBN 978-0-521-36948-0.
3. Vinogradov, AM (1978). "Una secuencia espectral asociada con una ecuación diferencial no lineal y fundamentos algebro-geométricos de la teoría de campos lagrangianos con restricciones" . Matemáticas soviéticas. Dokl. (en ruso). 19 : 144–148 - a través de Math-Net.Ru.
4. Vinogradov, AM (30 de abril de 1984). "La secuencia b-espectral, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación. I. La teoría lineal" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 100 (1): 1–40. doi : 10.1016 / 0022-247X (84) 90071-4 .
5. Henneaux, Marc; Krasil'shchik, Joseph; Vinogradov, Alexandre, eds. (1998). Cálculo secundario y Física Cohomológica . Matemática contemporánea. 219 . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi : 10.1090 / conm / 219 . ISBN 978-0-8218-0828-3.
6. Vinogradov, AM (2001). Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2922-X. OCLC  47296188 .