La teoría de Morse discreta es una adaptación combinatoria de la teoría de Morse desarrollada por Robin Forman . La teoría tiene varias aplicaciones prácticas en diversos campos de las matemáticas aplicadas y la informática , como espacios de configuración , [1] cálculo de homología , [2] [3] eliminación de ruido , [4] compresión de malla , [5] y análisis de datos topológicos . [6]
Notación sobre complejos CW
Dejar ser un complejo CW y denotar porsu conjunto de células. Definir la función de incidencia de la siguiente manera: dadas dos celdas y en , dejar ser el grado del mapa adjunto desde el límite de a . El operador de límite es el endomorfismo. del grupo abeliano libre generado por definido por
Es una propiedad definitoria de los operadores de límites que . En definiciones más axiomáticas [7] se puede encontrar el requisito de que
que es una consecuencia de la definición anterior del operador de frontera y el requisito de que .
Funciones Morse discretas
Una función de valor reales una función Morse discreta si satisface las dos propiedades siguientes:
- Para cualquier celda , la cantidad de celdas en el límite de que satisfacen es como máximo uno.
- Para cualquier celda , la cantidad de celdas conteniendo en su límite que satisfacen es como máximo uno.
Se puede demostrar [8] que las cardinalidades en las dos condiciones no pueden ser ambas simultáneamente para una celda fija., siempre que es un complejo de CW regular . En este caso, cada celda se puede emparejar con como máximo una celda excepcional : ya sea una celda de límite con mayor valor, o una celda co-límite con menor valor. Las celdas que no tienen pares, es decir, cuyos valores de función son estrictamente más altos que sus celdas de límite y estrictamente más bajos que sus celdas de co-límite se denominan celdas críticas . Por lo tanto, una función Morse discreta divide el complejo CW en tres colecciones de celdas distintas:, dónde:
- denota las celdas críticas que no están emparejadas,
- denota celdas que están emparejadas con celdas de límite, y
- denota celdas que están emparejadas con celdas co-limítrofes.
Por construcción, hay una biyección de conjuntos entre-células dimensionales en y el -células dimensionales en , que se puede denotar por por cada número natural . Es un requisito técnico adicional que para cada, el grado del mapa adjunto desde el límite de a su celda emparejada es una unidad en el anillo subyacente de. Por ejemplo, sobre los enteros , los únicos valores permitidos son . Este requisito técnico está garantizado, por ejemplo, cuando se supone que es un complejo CW regular sobre .
El resultado fundamental de la teoría de Morse discreta establece que el complejo CW es isomorfo en el nivel de homología con un nuevo complejoque consta únicamente de las células críticas. Las celdas emparejadas en y describir trayectorias de gradiente entre celdas críticas adyacentes que se pueden utilizar para obtener el operador de límite en. En la siguiente sección se proporcionan algunos detalles de esta construcción.
El complejo Morse
Una ruta de gradiente es una secuencia de celdas emparejadas
satisfactorio y . El índice de esta ruta de gradiente se define como el número entero
La división aquí tiene sentido porque la incidencia entre células emparejadas debe ser . Tenga en cuenta que por construcción, los valores de la función Morse discreta debe disminuir a lo largo . El caminose dice que conecta dos celdas críticas Si . Esta relación puede expresarse como. La multiplicidad de esta conexión se define como el número entero. Finalmente, el operador de límite Morse en las celdas críticas es definido por
donde la suma se toma sobre todas las conexiones de ruta de gradiente desde a .
Resultados básicos
Muchos de los resultados familiares de la teoría Morse continua se aplican en el entorno discreto.
Las desigualdades morse
Dejar ser un complejo Morse asociado al complejo CW . El número de -células en se llama el -ésimo número Morse . Dejar denotar el -th Betti número de. Entonces, para cualquier, las siguientes desigualdades [9] son válidas
- , y
Además, la característica de Euler de satisface
Homología Morse discreta y tipo de homotopía
Dejar ser un complejo CW regular con operador de límite y una función Morse discreta . Dejar ser el complejo Morse asociado con el operador de límite Morse . Entonces, hay un isomorfismo [10] de grupos de homología
y de manera similar para los grupos homotópicos.
Ver también
Referencias
- ^ Mori, Francesca; Salvetti, Mario (2011), "Teoría Morse (discreta) para espacios de configuración" (PDF) , Mathematical Research Letters , 18 (1): 39–57, doi : 10.4310 / MRL.2011.v18.n1.a4 , MR 2770581
- ^ Perseus : elsoftware de homología persistente .
- ^ Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). "Teoría Morse para filtraciones y cálculo eficiente de homología persistente" . Geometría discreta y computacional . 50 (2): 330–353. doi : 10.1007 / s00454-013-9529-6 .
- ^ U. Bauer, C. Lange y M. Wardetzky: simplificación topológica óptima de funciones discretas en superficies
- ^ T Lewiner, H Lopez y G Tavares: Aplicaciones de la teoría de Morse discreta de Forman a la visualización topológica y la compresión de malla. Archivado el 26 de abril de 2012en la Wayback Machine.
- ^ "el Kit de herramientas de topología" .
- ^ Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). "Teoría Morse para filtraciones y cálculo eficiente de homología persistente" . Geometría discreta y computacional . 50 (2): 330–353. doi : 10.1007 / s00454-013-9529-6 .
- ^ Forman, Robin: Teoría Morse para complejos celulares Archivado el 24 de abril de 2012 en Wayback Machine , Lemma 2.5
- ^ Forman, Robin: Teoría de Morse para complejos celulares Archivado el 24 de abril de 2012 en Wayback Machine , Corolarios 3.5 y 3.6
- ^ Forman, Robin: Teoría Morse para complejos celulares Archivado el 24 de abril de 2012 en Wayback Machine , Teorema 7.3
- Forman, Robin (2002). "Una guía del usuario para la teoría de Morse discreta" (PDF) . Séminaire Lotharingien de Combinatoire . 48 : art. B48c, 35 págs. MR 1939695 .
- Kozlov, Dmitry (2007). Topología algebraica combinatoria . Algoritmos y Computación en Matemáticas. 21 . Berlín: Springer. ISBN 978-3540719618. Señor 2361455 .
- Jonsson, Jakob (2007). Complejos simples de gráficos . Saltador. ISBN 978-3540758587.
- Orlik, Peter ; Welker, Volkmar (2007). Combinatoria algebraica: conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid . Universitext. Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-68376-6 . ISBN 978-3540683759. Señor 2322081 .
- "Teoría de Morse discreta" . nLab .