En la teoría matemática de superficies mínimas , la conjetura de la burbuja doble establece que la forma que encierra y separa dos volúmenes dados y tiene el área de superficie mínima posible es una burbuja doble estándar : tres superficies esféricas que se encuentran en ángulos de 2 π / 3 en una superficie común. circulo. Ahora es un teorema , ya que una prueba de ello se publicó en 2002. [1] [2]
La conjetura
Según las leyes de Plateau , la forma de área mínima que encierra cualquier volumen o conjunto de volúmenes debe tomar una forma que se ve comúnmente en las pompas de jabón en las que las superficies de curvatura media constante se juntan en tres, formando ángulos diedros de 2 π / 3. [3] En una burbuja doble estándar , estas superficies son parches de esferas y la curva donde se encuentran es un círculo. Cuando los dos volúmenes cerrados son diferentes entre sí, hay tres superficies esféricas, dos en el exterior de la doble burbuja y una en el interior, separando los dos volúmenes entre sí; el radio de las esferas es inversamente proporcional a las diferencias de presión entre los volúmenes que separan, según la ecuación de Young-Laplace . [4] Cuando los dos volúmenes son iguales, la superficie del medio es en cambio un disco plano , que puede interpretarse como un parche de una esfera de radio infinito.
La conjetura de la burbuja doble establece que, para dos volúmenes cualesquiera, la burbuja doble estándar es la forma de área mínima que los encierra; ningún otro conjunto de superficies encierra la misma cantidad de espacio con menos área total.
El mismo hecho también es cierto para el conjunto de curvas de longitud mínima en el plano euclidiano que encierra un par de áreas dado, [5] y puede generalizarse a cualquier dimensión superior. [6]
Historia
La desigualdad isoperimétrica para tres dimensiones establece que la forma que encierra el volumen único mínimo para su área de superficie es la esfera; fue formulado por Arquímedes pero no probado rigurosamente hasta el siglo XIX, por Hermann Schwarz . En el siglo XIX, Joseph Plateau estudió la doble burbuja, y CV Boys asumió sin pruebas la verdad de la conjetura de la doble burbuja en su libro de 1896 sobre pompas de jabón. [7] [8]
En 1991, Joel Foisy, un estudiante de pregrado en Williams College , fue el líder de un equipo de estudiantes que demostró el análogo bidimensional de la conjetura de la doble burbuja. [5] [7] En su tesis de licenciatura, Foisy fue el primero en proporcionar una declaración precisa de la conjetura de la doble burbuja tridimensional, pero no pudo probarla. [9]
Una prueba para el caso restringido de la conjetura de la doble burbuja, para dos volúmenes iguales, fue anunciada por Joel Hass y Roger Schlafly en 1995, y publicada en 2000. [10] [11] La prueba de la conjetura completa de Hutchings , Morgan , Ritoré y Ros se anunció en 2000 y se publicó en 2002. [1] [9] [12]
Prueba
Un lema de Brian White muestra que la doble burbuja de área mínima debe ser una superficie de revolución . Porque, si no, sería posible encontrar dos planos ortogonales que bisecan ambos volúmenes, reemplazar superficies en dos de los cuatro cuadrantes por los reflejos de las superficies en los otros cuadrantes, y luego suavizar las singularidades en los planos de reflexión, reduciendo el área total. [7] Basándose en este lema, Michael Hutchings pudo restringir las posibles formas de las burbujas dobles óptimas no estándar, para que constaran de capas de tubos toroidales. [13]
Además, Hutchings demostró que la cantidad de toroides en una burbuja doble no estándar pero minimizante podría estar limitada por una función de los dos volúmenes. En particular, para dos volúmenes iguales, la única burbuja doble no estándar posible consiste en una sola burbuja central con un solo toroide alrededor de su ecuador. Basándose en esta simplificación del problema, Joel Hass y Roger Schlafly pudieron reducir la prueba de este caso de la conjetura de la doble burbuja a un gran análisis de casos computarizado, que tomó 20 minutos en una PC de 1995. [7] [11]
La prueba eventual de la conjetura de la doble burbuja completa también utiliza el método de Hutchings para reducir el problema a un análisis de caso finito, pero evita el uso de cálculos por computadora y, en cambio, funciona mostrando que todas las posibles burbujas dobles no estándar son inestables: pueden ser perturbado por cantidades arbitrariamente pequeñas para producir otra solución con menor costo. Las perturbaciones necesarias para probar este resultado son un conjunto de rotaciones cuidadosamente elegido. [7]
Problemas relacionados
John M. Sullivan ha conjeturado que, para cualquier dimensión d , el recinto mínimo de hasta d + 1 volúmenes tiene la forma de una proyección estereográfica de un simplex . [14] En particular, en este caso, todos los límites entre burbujas serían parches de esferas. Se ha probado el caso especial de esta conjetura para tres burbujas en dos dimensiones; en este caso, las tres burbujas están formadas por seis arcos circulares y segmentos de línea recta, que se encuentran en el mismo patrón combinatorio que los bordes de un tetraedro . [15] Sin embargo, experimentos numéricos han demostrado que para seis o más volúmenes en tres dimensiones, algunos de los límites entre burbujas pueden ser no esféricos. [14]
Para un número infinito de áreas iguales en el plano, el conjunto de curvas de longitud mínima que separan estas áreas es el mosaico hexagonal , conocido por su uso por las abejas para formar panales , y su optimalidad (la conjetura del panal ) fue probada por TC Hales en 2001. [16] Para el mismo problema en tres dimensiones, no se conoce la solución óptima; Lord Kelvin conjeturó que estaba dada por una estructura combinatoriamente equivalente al panal cúbico bitruncado , pero esta conjetura fue refutada por el descubrimiento de la estructura Weaire-Phelan , una partición del espacio en celdas de igual volumen de dos formas diferentes usando una cantidad promedio menor de superficie por celda. [17]
Referencias
- ^ a b Hutchings, Michael ; Morgan, Frank ; Ritoré, Manuel; Ros, Antonio (2002), "Prueba de la conjetura de la doble burbuja", Annals of Mathematics , 2nd Ser., 155 (2): 459–489, arXiv : math / 0406017 , doi : 10.2307 / 3062123 , JSTOR 3062123 , MR 1906593.
- ^ Morgan, Frank (2009), "Capítulo 14. Prueba de la conjetura de la burbuja doble", Teoría de la medida geométrica: Guía para principiantes (4ª ed.), Academic Press.
- ^ Taylor, Jean E. (1976), "La estructura de las singularidades en superficies mínimas similares a pompas de jabón y películas de jabón", Annals of Mathematics , 2nd Ser., 103 (3): 489-539, doi : 10.2307 / 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181.
- ^ Isenberg, Cyril (1978), "Capítulo 5. La ecuación de Laplace-Young", La ciencia de las películas y pompas de jabón , Dover.
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- ^ Reichardt, Ben W. (2008), "Prueba de la conjetura de la doble burbuja en R n ", Journal of Geometric Analysis , 18 (1): 172-191, arXiv : 0705.1601 , doi : 10.1007 / s12220-007-9002-y , MR 2365672.
- ^ a b c d e Morgan, Frank (2004), "Prueba de la conjetura de la doble burbuja", en Hardt, Robert (ed.), Six Themes on Variation , Student Mathematical Library, 26 , American Mathematical Society, págs. 59–77, doi : 10.1090 / STML / 026/04 , HDL : 10481/32449 , MR 2108996. Versión revisada de un artículo que apareció inicialmente en el American Mathematical Monthly (2001), doi : 10.2307 / 2695380 , MR1834699 .
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- ^ Weaire, Denis ; Phelan, Robert (1994), "Un contraejemplo de la conjetura de Kelvin sobre superficies mínimas", Philosophical Magazine Letters , 69 (2): 107-110, Bibcode : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080 / 09500839408241577.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Doble burbuja" . MathWorld .