Doblar el cubo
Duplicar el cubo , también conocido como el problema de Delian , es un antiguo problema geométrico [a] . Dado el borde de un cubo , el problema requiere la construcción del borde de un segundo cubo cuyo volumen es el doble que el del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadrar el círculo y trisecar el ángulo , ahora se sabe que doblar el cubo es imposible usando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otras herramientas.
Los egipcios , los indios y, en particular, los griegos [1] eran conscientes del problema e hicieron muchos intentos inútiles por resolver lo que veían como un problema obstinado pero soluble. [2] [b] Sin embargo, la inexistencia de una solución de regla y compás fue finalmente probada por Pierre Wantzel en 1837.
En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x , donde x 3 = 2 ; en otras palabras, x = , la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de longitud de lado 1 tiene un volumen de 1 3 = 1 , y un cubo de dos veces ese volumen (un volumen de 2) tiene una longitud de lado de la raíz cúbica de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo es equivalente al enunciado que no es un número construible. Esto es consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construido por un compás y una regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de no mayor grado que una cuadrática . Esto implica que el grado de extensión de campo generado por un punto construible debe ser una potencia de 2. La extensión de campo generada por , sin embargo, es de grado 3.
![{\ sqrt [{3}] {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
Comenzamos con el segmento de línea unitaria definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Estamos obligados a construir un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de . Se muestra fácilmente que las construcciones de brújula y regla permitirían que tal segmento de línea se mueva libremente para tocar el origen , paralelo al segmento de línea unitario; de manera equivalente, podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea desde (0,0) hasta ( , 0), lo que implica construir el punto ( , 0).
