Álgebra de Hopf cuasitriangular

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En matemáticas , un álgebra de Hopf , H , es cuasitriangular ^[1] si existe un elemento invertible , R , de tal que${\ Displaystyle H \ otimes H}$

donde , y , en donde , , y , se álgebra morfismos determinados por${\ Displaystyle R_ {12} = \ phi _ {12} (R)}$${\ Displaystyle R_ {13} = \ phi _ {13} (R)}$${\ Displaystyle R_ {23} = \ phi _ {23} (R)}$${\ Displaystyle \ phi _ {12}: H \ otimes H \ a H \ otimes H \ otimes H}$${\ Displaystyle \ phi _ {13}: H \ otimes H \ a H \ otimes H \ otimes H}$${\ Displaystyle \ phi _ {23}: H \ otimes H \ a H \ otimes H \ otimes H}$

Como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad, la matriz R , R , es una solución de la ecuación de Yang-Baxter (por lo que se puede usar un módulo V de H para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y enlaces ). También como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad ,; Por otra parte , y . Se puede demostrar además que la antípoda S debe ser un isomorfismo lineal y, por tanto, S ² es un automorfismo. De hecho, S ² viene dado por la conjugación de un elemento invertible: donde${\ Displaystyle (\ epsilon \ otimes 1) R = (1 \ otimes \ epsilon) R = 1 \ in H}$${\ Displaystyle R ^ {- 1} = (S \ otimes 1) (R)}$${\ Displaystyle R = (1 \ otimes S) (R ^ {- 1})}$${\ Displaystyle (S \ otimes S) (R) = R}$${\ Displaystyle S ^ {2} (x) = uxu ^ {- 1}}$${\ Displaystyle u: = m (S \ otimes 1) R ^ {21}}$(cf. Álgebras de Ribbon Hopf ).

Es posible construir un álgebra de Hopf cuasitriangular a partir de un álgebra de Hopf y su dual, utilizando la construcción doble cuántica de Drinfeld .

Si el álgebra de Hopf H es cuasitriangular, entonces la categoría de módulos sobre H se trenza con trenzado

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