En matemáticas , KK -teoría es una generalización común tanto de K-homología y K-teoría como aditivo funtor bivariante en separable C * -álgebras . Esta noción fue introducida por el matemático ruso Gennadi Kasparov [1] en 1980.
Fue influenciado por el concepto de Atiyah de módulos de Fredholm para el teorema del índice de Atiyah-Singer , y la clasificación de extensiones de C * -algebras por Lawrence G. Brown , Ronald G. Douglas y Peter Arthur Fillmore en 1977. [2] A su vez , ha tenido un gran éxito en el formalismo algebraico de operadores hacia la teoría de índices y la clasificación de álgebras C * nucleares , ya que fue la clave para las soluciones de muchos problemas en la teoría K de operadores, como, por ejemplo, el mero cálculo de los grupos K. Además, fue esencial en el desarrollo de la conjetura de Baum-Connesy juega un papel crucial en la topología no conmutativa .
La teoría KK fue seguida por una serie de construcciones bifunctoras similares como la teoría E y la teoría cíclica periódica bivariante , la mayoría de las cuales tienen más gustos de teoría de categorías , o se refieren a otra clase de álgebras en lugar de la separable C * - álgebras, o incorporando acciones grupales .
La siguiente definición es bastante cercana a la originalmente dada por Kasparov. Esta es la forma en la que surgen la mayoría de los elementos KK en las aplicaciones.
Sean A y B separables C * -álgebras, donde también se supone que B es σ-unital. El conjunto de ciclos es el conjunto de triples ( H , ρ, F ), donde H es un módulo de Hilbert graduado generado contablemente sobre B , ρ es una representación * de A en H como operadores delimitados pares que conmutan con B , y F es un operador acotado en H de grado 1 que a su vez conmuta con B . Están obligados a cumplir la condición de que
para a en A son todos B -operadores compactos. Se dice que un ciclo es degenerado si las tres expresiones son 0 para todo a .