En matemáticas , el teorema del borde de la cuña de Bogoliubov implica que las funciones holomórficas en dos "cuñas" con un "borde" en común son continuaciones analíticas entre sí siempre que ambas den la misma función continua en el borde. Se utiliza en la teoría cuántica de campos para construir la continuación analítica de las funciones de Wightman . La formulación y la primera prueba del teorema fueron presentadas [1] [2] por Nikolay Bogoliubov en la Conferencia Internacional de Física Teórica, Seattle, EE.UU. (septiembre de 1956) y también publicadas en el libroProblemas en la teoría de las relaciones de dispersión . [3] R. Jost y H. Lehmann (1957), [4] F. Dyson (1958), H. Epstein (1960) y otros investigadores dieron más demostraciones y generalizaciones del teorema .
El caso unidimensional
Valores límite continuos
En una dimensión, un caso simple del teorema del borde de la cuña se puede enunciar de la siguiente manera.
- Suponga que f es una función continua con valores complejos en el plano complejo que es holomórfico en el semiplano superior y en el semiplano inferior . Entonces es holomórfico en todas partes.
En este ejemplo, las dos cuñas son el semiplano superior y el semiplano inferior, y su borde común es el eje real . Este resultado se puede demostrar a partir del teorema de Morera . De hecho, una función es holomórfica siempre que su integral alrededor de cualquier contorno se desvanezca; un contorno que cruza el eje real se puede dividir en contornos en los semiplanos superior e inferior y la integral alrededor de estos se desvanece por hipótesis. [5] [6]
Valores de los límites de distribución en un círculo
El caso más general se expresa en términos de distribuciones. [7] [8] Esto es técnicamente más simple en el caso donde el límite común es el círculo unitario.en el plano complejo. En ese caso funciones holomorfas f , g en las regiones y tener expansiones de Laurent
absolutamente convergentes en las mismas regiones y tienen valores de frontera de distribución dados por la serie formal de Fourier
Sus valores de frontera de distribución son iguales si para todos n . Es entonces elemental que la serie común de Laurent converja absolutamente en toda la región..
Valores de límite de distribución en un intervalo
En general, dado un intervalo abierto en el eje real y funciones holomorfas definido en y satisfactorio
para algún número entero no negativo N , los valores límite de se puede definir como distribuciones en el eje real mediante las fórmulas [9] [8]
La existencia se puede probar notando que, bajo la hipótesis, es el -ésima derivada compleja de una función holomórfica que se extiende a una función continua en la frontera. Si f se define comopor encima y por debajo del eje real y F es la distribución definida en el rectángulo por la fórmula
entonces F es igual a fuera del eje real y la distribución es inducida por la distribución en el eje real.
En particular, si se aplican las hipótesis del teorema del borde de la cuña, es decir , luego
Por regularidad elíptica se sigue que la función F es holomórfica en.
En este caso, la regularidad elíptica se puede deducir directamente del hecho de que es conocido por proporcionar una solución fundamental para el operador de Cauchy-Riemann . [10]
Usando la transformada de Cayley entre el círculo y la línea real, este argumento puede reformularse de manera estándar en términos de series de Fourier y espacios de Sobolev en el círculo. De hecho, deja y ser funciones holomorfas definidas exterior e interior a algún arco en el círculo unitario de manera que localmente tienen límites radiales en algún espacio de Sobelev, Entonces, dejando
las ecuaciones
se puede resolver localmente de tal manera que los límites radiales de G y F tiendan localmente a la misma función en un espacio Sobolev superior. Para k suficientemente grande, esta convergencia es uniforme según el teorema de inclusión de Sobolev . Por el argumento de las funciones continuas, F y G por lo tanto se unen para dar una función holomórfica cerca del arco y, por lo tanto, también lo hacen f y g .
El caso general
Una cuña es el producto de un cono con algún conjunto.
Dejar ser un cono abierto en el espacio vectorial real , con vértice en el origen. Sea E un subconjunto abierto de R n , llamado borde. Escriba W para la cuñaen el espacio vectorial complejo C n , y escriba W ' para la cuña opuesta. Luego, las dos cuñas W y W 'se encuentran en el borde E , donde identificamos E con el producto de E con la punta del cono.
- Suponga que f es una función continua en la uniónque es holomórfico en las cuñas W y W ' . Entonces, el teorema del borde de la cuña dice que f también es holomórfica en E (o más precisamente, puede extenderse a una función holomórfica en una vecindad de E ).
Las condiciones para que el teorema sea verdadero pueden debilitarse. No es necesario suponer que f se define en la totalidad de las cuñas: basta con suponer que se define cerca del borde. Tampoco es necesario suponer que f está definida o es continua en el borde: es suficiente asumir que las funciones definidas en cualquiera de las cuñas tienen los mismos valores de límite de distribución en el borde.
Aplicación a la teoría cuántica de campos
En la teoría cuántica de campos, las distribuciones de Wightman son valores límite de las funciones de Wightman W ( z 1 , ..., z n ) que dependen de las variables z i en la complejidad del espacio-tiempo de Minkowski. Están definidos y son holomórficos en la cuña donde la parte imaginaria de cada z i - z i −1 se encuentra en el cono de tiempo positivo abierto. Al permutar las variables obtenemos n ! diferentes funciones de Wightman definidas en n ! diferentes cuñas. Aplicando el teorema del borde de la cuña (con el borde dado por el conjunto de puntos totalmente espaciales) se puede deducir que las funciones de Wightman son todas continuaciones analíticas de la misma función holomórfica, definida en una región conectada que contiene todo n ! porciones. (La igualdad de los valores de los límites en el borde que necesitamos para aplicar el teorema del borde de la cuña se deriva del axioma de localidad de la teoría cuántica de campos).
Conexión con hiperfunciones
El teorema del borde de la cuña tiene una interpretación natural en el lenguaje de las hiperfunciones . Una hiperfunción es aproximadamente una suma de valores límite de funciones holomórficas , y también se puede pensar en algo así como una "distribución de orden infinito". El conjunto de frente de onda analítico de una hiperfunción en cada punto es un cono en el espacio cotangente de ese punto, y se puede pensar que describe las direcciones en las que se mueve la singularidad en ese punto.
En el teorema del borde de la cuña, tenemos una distribución (o hiperfunción) f en el borde, dada como los valores límite de dos funciones holomórficas en las dos cuñas. Si una hiperfunción es el valor límite de una función holomórfica en una cuña, entonces su conjunto de frente de onda analítico se encuentra en el dual del cono correspondiente. Entonces, el conjunto de frente de onda analítico de f se encuentra en los duales de dos conos opuestos. Pero la intersección de estos duales está vacía, por lo que el conjunto de frente de onda analítico de f está vacío, lo que implica que f es analítico. Este es el teorema del borde de la cuña.
En la teoría de las hiperfunciones hay una extensión del teorema del borde de la cuña al caso en que hay varias cuñas en lugar de dos, llamado teorema del borde de la cuña de Martineau . Consulte el libro de Hörmander para obtener más detalles.
Notas
- ^ Vladimirov, VS (1966), Métodos de la teoría de funciones de muchas variables complejas , Cambridge, Mass .: MIT Press
- ^ VS Vladimirov , VV Zharinov, AG Sergeev (1994). " Teorema del" borde de la cuña "de Bogolyubov, su desarrollo y aplicaciones ", Russian Math. Surveys , 49 (5): 51-65.
- ^ Bogoliubov, NN ; Medvedev, BV; Polivanov, MK (1958), Problemas en la teoría de las relaciones de dispersión , Princeton: Institute for Advanced Study Press
- ^ Jost, R .; Lehmann, H. (1957). "Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren". Nuovo Cimento . 5 (6): 1598-1610. Código bibliográfico : 1957NCim .... 5.1598J . doi : 10.1007 / BF02856049 .
- ^ Rudin, 1971
- ^ Streater y Wightman 2000
- ^ Hörmander 1990 , págs. 63–65,343–344
- ↑ a b Berenstein y Gay , 1991 , págs. 256–265.
- ^ Hörmander 1990 , págs. 63–66
- ^ Hörmander 1990 , p. 63,81,110
Referencias
- Berenstein, Carlos A .; Gay, Roger (1991), Variables complejas: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas, 125 (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4
Otras lecturas
- Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, IT (1975), Introducción a la teoría de campos cuánticos axiomáticos , Serie de monografías de física matemática, 18 , Reading, Massachusetts : WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-0982-9, Zbl 1114.81300.
- Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Oksak, AI; IT, Todorov (1990), Principios generales de la teoría cuántica de campos , Física matemática y matemáticas aplicadas, 10 , Dordrecht - Boston - Londres : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8, Zbl 0732.46040
La conexión con las hiperfunciones se describe en:
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2 ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9, Zbl 0712.35001.
- Rudin, Walter (1971), Conferencias sobre el teorema del borde de la cuña , CMBS Regional Conference Series in Mathematics, 6 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1655-4, MR 0310288 , Zbl 0.214,09001
Para la aplicación del teorema del borde de la cuña a la teoría cuántica de campos, consulte:
- Streater, RF ; Wightman, AS (2000), PCT, Spin and Statistics, and All That , Princetonmarks in Mathematics and Physics (1978 ed.), Princeton, NJ : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9, Zbl 1026.81027
- Vladimirov, VS (2001) [1994], "Teorema de Bogolyubov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press