En matemáticas , las hiperfunciones son generalizaciones de funciones, como un "salto" de una función holomórfica a otra en un límite, y pueden considerarse informalmente como distribuciones de orden infinito. Las hiperfunciones fueron introducidas por Mikio Sato en 1958 en japonés ( 1959 , 1960 en inglés), basándose en trabajos anteriores de Laurent Schwartz , Grothendieck y otros.
Formulación
Una hiperfunción en la línea real puede concebirse como la "diferencia" entre una función holomórfica definida en el semiplano superior y otra en el semiplano inferior. Es decir, una hiperfunción se especifica mediante un par ( f , g ), donde f es una función holomórfica en el semiplano superior y g es una función holomórfica en el semiplano inferior.
Informalmente, la hiperfunción es la diferencia. estaría en la propia línea real. Esta diferencia no se ve afectada al agregar la misma función holomórfica tanto a f como a g , por lo que si h es una función holomórfica en todo el plano complejo , las hiperfunciones ( f , g ) y ( f + h , g + h ) se definen como equivaler.
Definición en una dimensión
La motivación se puede implementar de forma concreta utilizando ideas de la cohomología de la gavilla . Dejarser el haz de funciones holomorfas enDefinir las hiperfunciones en la línea real como primer grupo de cohomología local :
Concretamente, deja y ser el semiplano superior y el semiplano inferior respectivamente. Luego entonces
Dado que el grupo de cohomología cero de cualquier gavilla es simplemente las secciones globales de esa gavilla, vemos que una hiperfunción es un par de funciones holomórficas, una en el semiplano complejo superior e inferior módulo funciones holomórficas completas.
De manera más general, se puede definir para cualquier conjunto abierto como el cociente dónde es cualquier conjunto abierto con . Se puede demostrar que esta definición no depende de la elección de dando otra razón para pensar en las hiperfunciones como "valores límite" de funciones holomórficas.
Ejemplos de
- Si f es cualquier función holomórfica en todo el plano complejo, entonces la restricción de f al eje real es una hiperfunción, representada por ( f , 0) o (0, - f ).
- La función escalón Heaviside se puede representar como dónde es el valor principal del logaritmo complejo de z .
- La "función" delta de Dirac está representada por Esta es realmente una reafirmación de la fórmula integral de Cauchy . Para verificarlo, se puede calcular la integración de f justo debajo de la línea real y restar la integración de g justo encima de la línea real, ambos de izquierda a derecha. Tenga en cuenta que la hiperfunción puede no ser trivial, incluso si los componentes son una continuación analítica de la misma función. Además, esto se puede comprobar fácilmente diferenciando la función Heaviside.
- Si g es una función continua (o más generalmente una distribución ) en la línea real con soporte contenido en un intervalo acotado I , entonces g corresponde a la hiperfunción ( f , - f ), donde f es una función holomórfica en el complemento de I definido por Esta función f salta de valor en g ( x ) al cruzar el eje real en el punto x . La fórmula para f se sigue del ejemplo anterior escribiendo g como la convolución de sí mismo con la función delta de Dirac.
- Usando una partición de unidad, uno puede escribir cualquier función continua (distribución) como una suma localmente finita de funciones (distribuciones) con soporte compacto. Esto se puede aprovechar para extender la incrustación anterior a una incrustación
- Si f es cualquier función que sea holomórfica en todas partes excepto por una singularidad esencial en 0 (por ejemplo, e 1 / z ), entonceses una hiperfunción con soporte 0 que no es una distribución. Si f tiene un polo de orden finito en 0 entonceses una distribución, entonces cuando f tiene una singularidad esencial entoncesparece una "distribución de orden infinito" en 0. (Tenga en cuenta que las distribuciones siempre tienen un orden finito en cualquier punto).
Operaciones sobre hiperfunciones
Dejar ser cualquier subconjunto abierto.
- Por definición es un espacio vectorial en el que la suma y la multiplicación con números complejos están bien definidas. Explícitamente:
- Los mapas de restricción obvios giran en una gavilla (que de hecho es flácida ).
- Multiplicación con funciones analíticas reales y la diferenciación están bien definidas: Con estas definiciones se convierte en un módulo D y la incrustación es un morfismo de módulos D.
- Un punto se llama un punto holomórfico de Si se restringe a una función analítica real en algún pequeño vecindario de Si son dos puntos holomórficos, entonces la integración está bien definida: dónde son curvas arbitrarias con Las integrales son independientes de la elección de estas curvas porque los semiplanos superior e inferior simplemente están conectados .
- Dejar sea el espacio de las hiperfunciones con soporte compacto. A través de la forma bilineal uno asocia a cada hiperfunción con soporte compacto una función lineal continua en Esto induce una identificación del espacio dual, con Un caso especial que vale la pena considerar es el caso de funciones continuas o distribuciones con soporte compacto: si se considera (o ) como un subconjunto de a través de la incrustación anterior, esto calcula exactamente la integral de Lebesgue tradicional. Además: si es una distribución con soporte compacto, es una función analítica real, y luegoAsí, esta noción de integración da un significado preciso a expresiones formales comoque están indefinidos en el sentido habitual. Además: debido a que las funciones analíticas reales son densas en es un subespacio de . Esta es una descripción alternativa de la misma incrustación.
- Si es un mapa analítico real entre conjuntos abiertos de , luego composición con es un operador bien definido de a :
Ver también
Referencias
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enlaces externos
- Jacobs, Bryan. "Hiperfunción" . MathWorld .
- Kaneko, A. (2001) [1994], "Hyperfunction" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press