En análisis matemático , más precisamente en análisis microlocal , el frente de onda (conjunto) WF ( f ) caracteriza las singularidades de una función generalizada f , no solo en el espacio , sino también con respecto a su transformada de Fourier en cada punto. El término "frente de onda" fue acuñado por Lars Hörmander alrededor de 1970.
Introducción
En términos más familiares, WF ( f ) dice no solo dónde la función f es singular (que ya está descrita por su soporte singular ), sino también cómo o por qué es singular, al ser más exacto sobre la dirección en la que ocurre la singularidad. . Este concepto es más útil en la dimensión al menos dos, ya que en una dimensión solo hay dos direcciones posibles. La noción complementaria de que una función no es singular en una dirección es suavidad microlocal .
Intuitivamente, como ejemplo, considere una función f cuyo soporte singular se concentra en una curva suave en el plano en el que la función tiene una discontinuidad de salto. En la dirección tangente a la curva, la función permanece suave. Por el contrario, en la dirección normal a la curva, la función tiene una singularidad. Para decidir si la función es suave en otra dirección v , se puede intentar suavizar la función promediando en direcciones perpendiculares av . Si la función resultante es suave, entonces consideramos que f es suave en la dirección de v . De lo contrario, v está en el conjunto de frente de onda.
Formalmente, en el espacio euclidiano , el conjunto de frente de onda de ƒ se define como el complemento del conjunto de todos los pares ( x 0 , v ) de manera que existe una función de prueba con ( x 0 ) ≠ 0 y un cono abierto Γ que contiene v tal que la estimación
se cumple para todos los enteros positivos N . Aquídenota la transformada de Fourier. Observe que el conjunto de frente de onda es cónico en el sentido de que si ( x , v ) ∈ Wf (ƒ), entonces ( x , λ v ) ∈ Wf (ƒ) para todo λ> 0. En el ejemplo discutido en el párrafo anterior, el conjunto de frente de onda es el complemento teórico de conjuntos de la imagen del haz tangente de la curva dentro del haz tangente del plano.
Debido a que la definición implica el corte por una función de soporte compacto, la noción de un conjunto de frente de onda puede transportarse a cualquier variedad X diferenciable . En esta situación más general, el conjunto de frente de onda es un subconjunto cónico cerrado del paquete cotangente T * ( X ), ya que la variable ξ se localiza naturalmente en un covector en lugar de en un vector. El conjunto de frente de onda se define de manera que su proyección sobre X sea igual al soporte singular de la función.
Definición
En el espacio euclidiano, el conjunto de frente de onda de una distribución ƒ se define como
dónde es la fibra singular de f en x . La fibra singular se define como el complemento de todas las direcciones.tal que la transformada de Fourier de f , localizada en x , es suficientemente regular cuando se restringe a un cono abierto que contiene. Más precisamente, una dirección v está en el complemento desi hay una función suave con soporte compacto compact con φ ( x ) ≠ 0 y un cono abierto Γ que contiene v tal que la siguiente estimación se cumple para cada entero positivo N :
Una vez que dicha estimación se cumple para una función de corte particular φ en x , también es válida para todas las funciones de corte con soporte más pequeño, posiblemente para un cono abierto diferente que contenga v .
En una variedad diferenciable M , usando coordenadas localesen el paquete cotangente , el conjunto de frente de onda WF ( f ) de una distribución ƒ se puede definir de la siguiente manera general:
donde la fibra singular es de nuevo el complemento de todas las direcciones tal que la transformada de Fourier de f , localizada en x , es suficientemente regular cuando se restringe a una vecindad cónica de. El problema de la regularidad es local, por lo que se puede comprobar en el sistema de coordenadas local, utilizando la transformada de Fourier sobre las variables x . La estimación de regularidad requerida se transforma bien bajo difeomorfismo , por lo que la noción de regularidad es independiente de la elección de las coordenadas locales.
Generalizaciones
La noción de un conjunto de frente de onda se puede adaptar para acomodar otras nociones de regularidad de una función. Localizado puede expresarse aquí diciendo que f está truncada por alguna función de corte suave que no desaparece en x . (El proceso de localización podría realizarse de una manera más elegante, utilizando gérmenes ).
Más concretamente, esto se puede expresar como
dónde
- son funciones suaves con soporte compacto que no desaparecen en x ,
- son barrios cónicos de, es decir, barrios V tales que para todos ,
- denota la transformada de Fourier de la función u (generalizada con soporte compacto) , restringida a V ,
- es un fijo prehaz de funciones (o distribuciones) cuya hace cumplir elección la regularidad deseada de la transformada de Fourier.
Por lo general, se requieren secciones de O para satisfacer alguna condición de crecimiento (o disminución) en el infinito, por ejemplo, tal quepertenecen a algún espacio L p . Esta definición tiene sentido, porque la transformada de Fourier se vuelve más regular (en términos de crecimiento en el infinito) cuando f se trunca con el corte suave.
El "problema" más difícil, desde un punto de vista teórico, es encontrar el haz O adecuado que caracterice funciones pertenecientes a un subhecho E dado del espacio G de funciones generalizadas.
Ejemplo
Si tomamos G = D ′ el espacio de distribuciones de Schwartz y queremos caracterizar distribuciones que son localmentefunciones, debemos tomar para O (Ω) los espacios funcionales clásicos llamados O ′ M (Ω) en la literatura.
Entonces, la proyección sobre el primer componente del conjunto de frente de onda de una distribución no es más que su soporte singular clásico , es decir, el complemento del conjunto en el que su restricción sería una función suave .
Aplicaciones
El conjunto de frente de onda es útil, entre otros, al estudiar la propagación de singularidades por operadores pseudodiferenciales .
Ver también
- Transformación del FBI
- Espectro singular
- Soporte esencial
Referencias
- Lars Hörmander , Operadores integrales de Fourier I , Acta Math. 127 (1971), págs. 79-183.
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de ecuaciones diferenciales parciales lineales I: Teoría de la distribución y análisis de Fourier , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 256 (2a ed.), Springer, págs. 251-279, ISBN 0-387-52345-6 Capítulo VIII, Análisis espectral de singularidades