En geometría sólida , una cara es una superficie plana (una región plana ) que forma parte del límite de un objeto sólido; [1] un sólido tridimensional limitado exclusivamente por caras es un poliedro .
En tratamientos más técnicos de la geometría de poliedros y politopos de mayor dimensión , el término también se usa para significar un elemento de cualquier dimensión de un politopo más general (en cualquier número de dimensiones). [2]
Cara poligonal
En geometría elemental, una cara es un polígono [nota 1] en el límite de un poliedro . [2] [3] Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado de un poliedro y mosaico de un mosaico plano euclidiano .
Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, "cara" también se usa para referirse a las características bidimensionales de un politopo 4 . Con este significado, el tesseract de 4 dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de 8 celdas cúbicas .
Poliedro | Poliedro estrella | Azulejos euclidianos | Azulejos hiperbólicos | 4-politopo |
---|---|---|---|---|
{4,3} | {5 / 2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
El cubo tiene 3 caras cuadradas por vértice. | El pequeño dodecaedro estrellado tiene 5 caras pentagrammicas por vértice. | El mosaico cuadrado en el plano euclidiano tiene 4 caras cuadradas por vértice. | El mosaico cuadrado de orden 5 tiene 5 caras cuadradas por vértice. | El tesseract tiene 3 caras cuadradas por borde. |
Número de caras poligonales de un poliedro
La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler
donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras. Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por tanto, el número de caras es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de vértices. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 8 vértices y, por tanto, 6 caras.
cara k
En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son entidades de todas las dimensiones. [2] [4] [5] Una cara de dimensión k se llama k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario son 2 caras. En la teoría de conjuntos , el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío, donde el conjunto vacío es por coherencia dada una "dimensión" de -1. Para cualquier politopo n ( politopo n -dimensional), −1 ≤ k ≤ n .
Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el, sus (cuadrados) de cubo en sí mismo (3-cara) facetas (2-caras), (lineales) bordes (1-Faces), (punto) vértices (0- caras) y el conjunto vacío. Las siguientes son las caras de un politopo de 4 dimensiones :
- 4 caras: el 4 politopo de 4 dimensiones en sí
- 3 caras: celdas tridimensionales ( caras poliédricas )
- 2 caras: crestas bidimensionales ( caras poligonales )
- 1 caras - aristas unidimensionales
- 0 caras - vértices de 0 dimensiones
- el conjunto vacío, que tiene dimensión -1
En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica , un politopo es por definición convexo. Formalmente, una cara de un politopo P es la intersección de P con cualquier cerrado semiespacio cuyo límite es disjunta de la interior de P . [6] De esta definición se deduce que el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío. [4] [5]
En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de politopos abstractos y politopos en estrella , el requisito de convexidad se relaja. La teoría abstracta todavía requiere que el conjunto de caras incluya el propio politopo y el conjunto vacío.
Celda o 3 caras
Una celda es un elemento poliédrico ( 3 caras ) de un politopo de 4 dimensiones o un teselado de 3 dimensiones, o superior. Las células son facetas de 4 politopos y 3 panales.
Ejemplos:
4 politopos | 3 panales | ||
---|---|---|---|
{4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
El tesseract tiene 3 celdas cúbicas (3 caras) por borde. | La celda de 120 tiene 3 celdas dodecaédricas (3 caras) por borde. | El panal cúbico llena el espacio euclidiano 3 con cubos, con 4 celdas (3 caras) por borde. | El nido de abeja dodecaédrico de orden 4 llena el espacio hiperbólico tridimensional con dodecaedros, 4 celdas (3 caras) por borde. |
Faceta o ( n - 1) -face
En la geometría de dimensiones superiores, las facetas (también llamadas hiperfaces ) [7] de un n -politopo son las ( n -1)-caras (caras de dimensión uno menos que el propio politopo). [8] Un politopo está limitado por sus facetas.
Por ejemplo:
- Las facetas de un segmento de línea son sus caras 0 o vértices .
- Las facetas de un polígono son sus caras o aristas .
- Las facetas de un poliedro o mosaico plano son sus 2 caras .
- Las facetas de un politopo 4D o 3 panal son sus 3 caras o celdas.
- Las facetas de un politopo 5D o 4 panal son sus 4 caras .
Cresta o cara ( n - 2)
En terminología relacionada, las ( n - 2) - caras de un n -politopo se llaman crestas (también subfacetas ). [9] Una cresta se ve como el límite entre exactamente dos facetas de un politopo o panal.
Por ejemplo:
- Las crestas de un polígono 2D o mosaico 1D son sus caras 0 o vértices .
- Las crestas de un poliedro 3D o un mosaico plano son sus caras o bordes .
- Las crestas de un politopo 4D o 3 panal son sus 2 caras o simplemente caras .
- Las crestas de un politopo 5D o 4 panal son sus 3 caras o celdas .
Pico o ( n - 3) -face
Las ( n - 3) - caras de un n -politopo se llaman picos . Un pico contiene un eje de rotación de facetas y crestas en un politopo o panal regular.
Por ejemplo:
- Los picos de un poliedro 3D o un mosaico plano son sus caras 0 o vértices .
- Los picos de un politopo 4D o 3 panal son sus caras o bordes .
- Los picos de un politopo 5D o 4 panal son sus 2 caras o simplemente caras .
Ver también
- Celosía facial
Notas
- ^ Algunos otros polígonos, que no son caras, también son importantes para poliedros y mosaicos. Estos incluyen polígonos de Petrie , figuras de vértices y facetas (polígonos planos formados por vértices coplanares que no se encuentran en la misma cara del poliedro).
Referencias
- ^ Diccionario colegiado de Merriam-Webster (undécima ed.). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.
- ^ a b c Matoušek, Jiří (2002), Conferencias en Geometría Discreta , Textos de Posgrado en Matemáticas , 212 , Springer, 5.3 Caras de un politopo convexo, p. 86, ISBN 9780387953748.
- ^ Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra , Cambridge University Press, pág. 13, ISBN 9780521664059.
- ^ a b Grünbaum, Branko (2003), Politopos convexos , Textos de posgrado en matemáticas, 221 (2ª ed.), Springer, p. 17.
- ^ a b Ziegler, Günter M. (1995), Conferencias sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, 152 , Springer, Definición 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
- ↑ Matoušek (2002) y Ziegler (1995) usan una definición ligeramente diferente pero equivalente, que equivale a intersecar P con un hiperplano disjunto del interior de P o con todo el espacio.
- ^ NW Johnson : geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.1 Politopos y panales, p.225
- ^ Matoušek (2002) , p. 87; Grünbaum (2003) , pág. 27; Ziegler (1995) , pág. 17.
- ^ Matoušek (2002) , p. 87; Ziegler (1995) , pág. 71.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cara" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Facet" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Side" . MathWorld .