En matemáticas y los fundamentos de la mecánica cuántica , el espacio proyectivo de Hilbert de un complejo espacio de Hilbert es el conjunto de clases de equivalencia de vectores distintos de cero en , para la relación en dada por
- si y solo si para algún número complejo distinto de cero .
Las clases de equivalencia de para la relación también se llaman rayos o rayos proyectivos .
Esta es la construcción habitual de proyectivización , aplicada a un espacio de Hilbert complejo .
Descripción general
El significado físico del espacio proyectivo de Hilbert es que en la teoría cuántica , las funciones de onda y representan el mismo estado físico , para cualquier. Es convencional elegir undel rayo para que tenga norma unitaria ,, en cuyo caso se denomina función de onda normalizada . La restricción de la norma unitaria no determina completamente dentro del rayo, ya que podría multiplicarse por cualquier con valor absoluto 1 (la acción U (1) ) y conservan su normalización. Tal Se puede escribir como con llamada la fase global .
Rayos que se diferencian por tal corresponden al mismo estado (cf. estado cuántico (definición algebraica) , dado un C * -álgebra de observables y una representación en). Ninguna medición puede recuperar la fase de un rayo, no es observable. Uno dice quees un grupo de calibres del primer tipo.
Si es una representación irreductible del álgebra de observables, entonces los rayos inducen estados puros. Las combinaciones lineales convexas de rayos dan lugar naturalmente a una matriz de densidad que (aún en el caso de una representación irreducible) corresponden a estados mixtos.
La misma construcción se puede aplicar también a espacios reales de Hilbert.
En el caso es de dimensión finita, es decir, , el conjunto de rayos proyectivos puede tratarse como cualquier otro espacio proyectivo; es un espacio homogéneo para un grupo unitario o grupo ortogonal , en los casos complejos y reales respectivamente. Para el espacio de Hilbert complejo de dimensión finita, se escribe
de modo que, por ejemplo, la proyectivización del espacio de Hilbert complejo bidimensional (el espacio que describe un qubit ) es la línea proyectiva compleja . Esto se conoce como la esfera de Bloch . Consulte Fibra de Hopf para obtener detalles de la construcción de proyectivización en este caso.
El espacio proyectivo complejo de Hilbert puede recibir una métrica natural, la métrica de Fubini-Study , derivada de la norma del espacio de Hilbert.
Producto
El producto cartesiano de los espacios proyectivos de Hilbert no es un espacio proyectivo. El mapeo de Segre es una incrustación del producto cartesiano de dos espacios proyectivos en su producto tensorial . En teoría cuántica, describe cómo hacer estados del sistema compuesto a partir de los estados de sus constituyentes. Es sólo una incrustación , no una sobreyección; la mayor parte del espacio del producto tensorial no se encuentra en su rango y representa estados entrelazados .
Ver también
- Espacio proyectivo , para el concepto en general
- Espacio proyectivo complejo
- Representación proyectiva
Referencias
Ashtekar, Abhay ; Schilling, Troy A. (1997). "Formulación geométrica de la mecánica cuántica". arXiv : gr-qc / 9706069 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )