En matemáticas , en el campo de la topología algebraica , la secuencia espectral de Eilenberg-Moore aborda el cálculo de los grupos de homología de un retroceso sobre una fibración . La secuencia espectral formula el cálculo a partir del conocimiento de la homología de los espacios restantes. El artículo original de Samuel Eilenberg y John C. Moore aborda esto en busca de homología singular .
Motivación
Dejar ser un campo y dejar y denotan homología singular y cohomología singular con coeficientes en k , respectivamente.
Considere el siguiente retroceso de un mapa continuo p :
Una pregunta frecuente es cómo la homología del producto de fibra, , Se refiere a la homología de B , X y E . Por ejemplo, si B es un punto, entonces el retroceso es solo el producto habitual. En este caso, la fórmula de Künneth dice
Sin embargo, esta relación no es cierta en situaciones más generales. La secuencia espectral de Eilenberg-Moore es un dispositivo que permite calcular la (co) homología del producto de fibra en determinadas situaciones.
Declaración
Las secuencias espectrales de Eilenberg-Moore generalizan el isomorfismo anterior a la situación en la que p es una fibración de espacios topológicos y la base B está simplemente conectada . Entonces hay una secuencia espectral convergente con
Esta es una generalización en la medida en que el functor de Tor cero es solo el producto tensorial y, en el caso especial anterior, la cohomología del punto B es solo el campo de coeficientes k (en grado 0).
Dualmente, tenemos la siguiente secuencia espectral de homología:
Indicaciones en la prueba
La secuencia espectral surge del estudio de objetos graduales diferenciales ( complejos de cadenas ), no espacios. A continuación se analiza la construcción homológica original de Eilenberg y Moore. El caso de cohomología se obtiene de manera similar.
Dejar
ser el functor de cadena singular con coeficientes en. Según el teorema de Eilenberg-Zilber ,tiene una estructura de coalgebra graduada diferencial sobre con mapas de estructura
En términos pies en la tierra, el mapa asigna a una cadena singular s : Δ n → B la composición de s y la inclusión diagonal B ⊂ B × B . Del mismo modo, los mapas y inducir mapas de carbongebras diferenciadas graduadas
, .
En el lenguaje de los comódulos , dotan y con estructuras de comódulo graduadas diferenciales sobre , con mapas de estructura
y lo mismo para E en lugar de X . Ahora es posible construir la llamada resolución cobar para
como un diferencial graduado comodule. La resolución cobar es una técnica estándar en álgebra homológica diferencial:
donde el n término -ésimo es dado por
Los mapas son dadas por
dónde es el mapa de estructura para como izquierda comodule.
La resolución cobar es un bicomplejo , un grado procede de la graduación de los complejos de cadena S ∗ (-), el otro es el grado simplicial n . El complejo total del bicomplejo se denota.
El vínculo de la construcción algebraica anterior con la situación topológica es el siguiente. Bajo los supuestos anteriores, hay un mapa
que induce un cuasi-isomorfismo (es decir, induce un isomorfismo en grupos de homología)
dónde es el producto cotensor y Cotor (cotorsión) es el funtor derivado del producto cotensor .
Calcular
- ,
vista
como un doble complejo .
Para cualquier bicomplejo hay dos filtraciones (ver John McCleary ( 2001 ) o la secuencia espectral de un complejo filtrado); en este caso, la secuencia espectral de Eilenberg-Moore resulta del filtrado aumentando el grado homológico (por columnas en la imagen estándar de una secuencia espectral). Esta filtración rinde
Estos resultados se han perfeccionado de diversas formas. Por ejemplo, William G. Dwyer ( 1975 ) refinó los resultados de la convergencia para incluir espacios para los que
actúa nilpotentemente sobre
para todos y Brooke Shipley ( 1996 ) generalizaron aún más esto para incluir retrocesos arbitrarios.
La construcción original no se presta a cálculos con otras teorías de homología, ya que no hay razón para esperar que tal proceso funcione para una teoría de homología que no se derive de complejos de cadena. Sin embargo, es posible axiomatizar el procedimiento anterior y dar las condiciones bajo las cuales la secuencia espectral anterior es válida para una teoría de (co) homología general, ver el trabajo original de Larry Smith ( Smith 1970 ) o la introducción en ( Hatcher 2002 ).
Referencias
- Dwyer, William G. (1975), "Convergencia exótica de la secuencia espectral de Eilenberg-Moore" , Illinois Journal of Mathematics , 19 (4): 607-617, ISSN 0019-2082 , MR 0383409
- Eilenberg, Samuel ; Moore, John C. (1962), "Límites y secuencias espectrales", Topología , 1 (1): 1–23, doi : 10.1016 / 0040-9383 (62) 90093-9
- Hatcher, Allen (2002), topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
- McCleary, John (2001), "Capítulos 7 y 8: La secuencia espectral I y II de Eilenberg-Moore", Guía del usuario de secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 58 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6
- Shipley, Brooke E. (1996), "Convergencia de la secuencia espectral de homología de un espacio cosimplicial", American Journal of Mathematics , 118 (1): 179-207, CiteSeerX 10.1.1.549.661 , doi : 10.1353 / ajm.1996.0004
- Smith, Larry (1970), Conferencias sobre la secuencia espectral de Eilenberg-Moore , Lecture Notes in Mathematics, 134 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0275435
Otras lecturas
- Allen Hatcher, Secuencias espectrales en topología algebraica, Capítulo 3. Espacios Eilenberg-MacLane [1]