En geometría , un poliedro proyectivo (globalmente) es una teselación del plano proyectivo real . [1] Estos son análogos proyectivos de poliedros esféricos - teselados de la esfera - y poliedros toroidales - teselados de los toroides.
Los poliedros proyectivos también se conocen como teselaciones elípticas [2] o teselados elípticos , refiriéndose al plano proyectivo como geometría elíptica (proyectiva) , por analogía con el mosaico esférico , [3] sinónimo de "poliedro esférico". Sin embargo, el término geometría elíptica se aplica tanto a geometrías esféricas como proyectivas, por lo que el término conlleva cierta ambigüedad para los poliedros.
Como descomposiciones celulares del plano proyectivo, tienen la característica de Euler 1, mientras que los poliedros esféricos tienen la característica de Euler 2. El calificativo "globalmente" contrasta con los poliedros proyectivos locales , que se definen en la teoría de los poliedros abstractos .
Los poliedros proyectivos no superpuestos ( densidad 1) corresponden a poliedros esféricos (equivalentemente, poliedros convexos ) con simetría central . Este se elabora y amplía a continuación en relación con los poliedros esféricos y en relación con los poliedros tradicionales .
Ejemplos de
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de dihedros pares y hosoedros : [4]
- Hemicubo , {4,3} / 2
- Hemi-octaedro , {3,4} / 2
- Hemidodecaedro , {5,3} / 2
- Hemi-icosaedro , {3,5} / 2
- Hemi-dihedron, {2p, 2} / 2, p> = 1
- Hemi-hosoedro, {2,2p} / 2, p> = 1
Estos se pueden obtener tomando el cociente del poliedro esférico asociado por el mapa antípoda (identificando puntos opuestos en la esfera).
Por otro lado, el tetraedro no tiene simetría central, por lo que no hay "hemi-tetraedro". Vea la relación con los poliedros esféricos a continuación sobre cómo se trata el tetraedro.
Hemipolyhedra
Tenga en cuenta que el prefijo "hemi-" también se usa para referirse a los hemipoliedros , que son poliedros uniformes que tienen algunas caras que pasan por el centro de simetría. Como estos no definen poliedros esféricos (porque pasan por el centro, que no se asigna a un punto definido en la esfera), no definen poliedros proyectivos por el mapa del cociente desde el espacio tridimensional (menos el origen) al proyectivo. avión.
De estos hemipoliedros uniformes, sólo el tetrahemihexaedro es topológicamente un poliedro proyectivo, como puede comprobarse por su característica de Euler y su conexión visualmente obvia con la superficie romana . Está 2-cubierto por el cuboctaedro , y se puede realizar como el cociente del cuboctaedro esférico por el mapa de las antípodas. Es el único poliedro uniforme (tradicional) proyectivo, es decir, el único poliedro proyectivo uniforme que se sumerge en tres espacios euclidianos como un poliedro tradicional uniforme.
Relación con poliedros esféricos
Hay un mapa de cobertura 2 a 1. de la esfera al plano proyectivo, y bajo este mapa, los poliedros proyectivos corresponden a poliedros esféricos con simetría central : la cubierta doble de un poliedro proyectivo es un poliedro esférico simétrico centralmente. Además, debido a que un mapa de cobertura es un homeomorfismo local (en este caso una isometría local ), tanto el poliedro esférico como el correspondiente proyectivo tienen la misma figura de vértice abstracto .
Por ejemplo, la cubierta doble del hemicubo (proyectivo) es el cubo (esférico). El semicubo tiene 4 vértices, 3 caras y 6 aristas, cada una de las cuales está cubierta por 2 copias en la esfera y, por consiguiente, el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, mientras que ambos poliedros tienen un 4.4. Figura de 4 vértices (3 cuadrados que se encuentran en un vértice).
Además, el grupo de simetría (de isometrías ) de un poliedro proyectivo y el poliedro esférico de cobertura están relacionados: las simetrías del poliedro proyectivo se identifican naturalmente con las simetrías de rotación del poliedro esférico, mientras que el grupo de simetría completo del poliedro esférico es el producto de su grupo de rotación (el grupo de simetría del poliedro proyectivo) y el grupo cíclico de orden 2, {± I }. Consulte el grupo de simetría a continuación para obtener más detalles y otras dimensiones.
Los poliedros esféricos sin simetría central no definen un poliedro proyectivo, ya que las imágenes de vértices, aristas y caras se superpondrán. En el lenguaje de los mosaicos, la imagen en el plano proyectivo es un mosaico de grado 2, lo que significa que cubre el plano proyectivo dos veces, en lugar de 2 caras en la esfera correspondiente a 1 cara en el plano proyectivo, cubriéndola dos veces, cada cara en la esfera corresponde a una sola cara en el plano proyectivo, cubriéndola en consecuencia dos veces.
La correspondencia entre poliedros proyectivos y poliedros esféricos simétricos centralmente puede extenderse a una conexión de Galois incluyendo todos los poliedros esféricos (no necesariamente simétricos centralmente) si las clases se extienden para incluir teselaciones de grado 2 del plano proyectivo, cuyas cubiertas no son poliedros sino más bien los compuesto poliédrico de un poliedro simétrico no centralmente, junto con su inverso central (un compuesto de 2 poliedros). Esto geometriza la conexión de Galois a nivel de subgrupos finitos de O (3) y PO (3), bajo los cuales el adjunto es "unión con inverso central". Por ejemplo, el tetraedro no es simétrico centralmente y tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras, y el vértice figura 3.3.3 (3 triángulos que se encuentran en cada vértice). Su imagen en el plano proyectivo tiene 4 vértices, 6 aristas (que se cruzan) y 4 caras (que se superponen), cubriendo el plano proyectivo dos veces. La cubierta de este es el octaedro estrellado , equivalentemente, el compuesto de dos tetraedros, que tiene 8 vértices, 12 aristas y 8 caras, y la figura de vértice 3.3.3.
Generalizaciones
En el contexto de los politopos abstractos , uno en cambio se refiere a " politopos proyectivos localmente " - ver Politopo abstracto: topología local . Por ejemplo, el 11-celdas es un "politopo localmente proyectivo", pero no es un poliedro globalmente proyectivo, ni tampoco tesela ninguna variedad, ya que no es localmente euclidiana, sino localmente proyectiva, como su nombre indica.
Los politopos proyectivos se pueden definir en una dimensión superior como teselados del espacio proyectivo en una dimensión menos. Definir politopos proyectivos k -dimensionales en un espacio proyectivo n- dimensional es algo más complicado, porque la definición habitual de politopos en el espacio euclidiano requiere tomar combinaciones convexas de puntos, que no es un concepto proyectivo, y se aborda con poca frecuencia en la literatura, pero ha sido definido, como en ( Vives y Mayo 1991 ).
Grupo de simetría
El grupo de simetría de un politopo proyectivo es un subgrupo finito (por lo tanto discreto) [nota 1] del grupo ortogonal proyectivo , PO, y a la inversa, cada subgrupo finito de PO es el grupo de simetría de un politopo proyectivo tomando el politopo dado por imágenes de un dominio fundamental para el grupo.
Las dimensiones relevantes son las siguientes: el espacio proyectivo real n- dimensional es la proyectivización del espacio euclidiano ( n +1) -dimensional ,por lo que el grupo ortogonal proyectivo de un espacio proyectivo n- dimensional se denota
- PO ( n +1) = P (O ( n +1)) = O ( n +1) / {± I }.
Si n = 2 k es par (entonces n +1 = 2 k +1 es impar), entonces O (2 k +1) = SO (2 k +1) × {± I } se descompone como un producto, y así[nota 2] para que el grupo de isometrías proyectivas pueda identificarse con el grupo de isometrías rotacionales.
Así, en particular, el grupo de simetría de un poliedro proyectivo es el grupo de simetría rotacional del poliedro esférico de cobertura; el grupo de simetría completo del poliedro esférico es entonces solo el producto directo con la reflexión a través del origen , que es el núcleo en el paso al espacio proyectivo. El plano proyectivo no es orientable, por lo que no existe una noción distinta de "isometrías que conservan la orientación de un poliedro proyectivo", lo que se refleja en la igualdad PSO (3) = PO (3).
Si n = 2 k + 1 es impar, entonces O ( n +1) = O (2 k +2) no se descompone como un producto y, por lo tanto, el grupo de simetría del politopo proyectivo no son simplemente las simetrías rotacionales del esférico. politopo, sino más bien un cociente 2 a 1 del grupo de simetría completo del politopo esférico correspondiente (el grupo esférico es una extensión central del grupo proyectivo). Además, en dimensión proyectiva impar (dimensión vectorial par) y, en cambio, es un subgrupo adecuado (índice 2), por lo que existe una noción distinta de isometrías que conservan la orientación.
Por ejemplo, en n = 1 (polígonos), las simetrías de un 2 r -gon es el grupo diedro Dih 2 r (de orden 4 r ), siendo el grupo rotacional el grupo cíclico C 2 r , siendo estos subgrupos de O (2 ) y SO (2), respectivamente. La proyectivización de un 2 r -gon (en el círculo) es un r -gon (en la línea proyectiva) y, en consecuencia, los grupos cocientes, subgrupos de PO (2) y PSO (2) son Dih r y C r . Tenga en cuenta que el mismo cuadrado conmutativo de subgrupos ocurre para el cuadrado del grupo Spin y el grupo Pin - Spin (2), Pin + (2), SO (2), O (2) - aquí subiendo a una cubierta doble, en lugar de reducirse a un cociente doble.
Por último, por el teorema de la red hay una conexión de Galois entre subgrupos de O ( n ) y subgrupos de PO ( n ), en particular de subgrupos finitos. Bajo esta conexión, los grupos de simetría de politopos simétricos centralmente corresponden a grupos de simetría del politopo proyectivo correspondiente, mientras que los grupos de simetría de politopos esféricos sin simetría central corresponden a grupos de simetría de politopos proyectivos de grado 2 (teselaciones que cubren dos veces el espacio proyectivo), cuya cubierta ( correspondiente al adjunto de la conexión) es un compuesto de dos politopos: el politopo original y su inverso central.
Estos grupos de simetría deben compararse y contrastarse con grupos poliédricos binarios , al igual que Pin ± ( n ) → O ( n ) es una cobertura de 2 a 1 y, por lo tanto, existe una conexión de Galois entre grupos poliédricos binarios y grupos poliédricos, O ( n ) → PO ( n ) es una cobertura de 2 a 1 y, por lo tanto, tiene una conexión de Galois análoga entre subgrupos. Sin embargo, mientras que los subgrupos discretos de O ( n ) y PO ( n ) corresponden a grupos de simetría de politopos esféricos y proyectivos, que corresponden geométricamente al mapa de cobertura. no hay espacio de cobertura de (por ) ya que la esfera está simplemente conectada y, por lo tanto, no hay un "politopo binario" correspondiente para el cual los subgrupos de Pin son grupos de simetría.
Ver también
- Poliedro esférico
- Poliedro toroidal
Notas
- ^ Dado que PO es compacto , los conjuntos finitos y discretos son idénticos: los conjuntos infinitos tienen un punto de acumulación .
- ^ Ladistinción isomorfismo / igualdad en esta ecuación se debe a que el contexto es el mapa del cociente 2 a 1- PSO (2 k +1) y PO (2 k +1) son subconjuntos iguales del objetivo (es decir, todo el espacio), de ahí la igualdad, mientras que el mapa inducidoes un isomorfismo pero los dos grupos son subconjuntos de espacios diferentes, de ahí el isomorfismo en lugar de una igualdad. Véase ( Conway & Smith 2003 , p. 34 ) para ver un ejemplo de esta distinción.
Referencias
Notas al pie
- ^ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Clasificación topológica", Problemas sobre politopos, sus grupos y realizaciones , págs. 9-13, arXiv : math / 0608397v1 , Bibcode : 2006math ...... 8397S
- ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Panales retorcidos . Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas (4). Librería AMS. pag. 11 . ISBN 978-0-8218-1653-0.
- ^ Magnus, Wilhelm (1974), teselaciones no euclidianas y sus grupos , Academic Press , p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
- ^ Coxeter, Introducción a la geometría , 1969, Segunda edición, sección 21.3 Mapas regulares , p. 386-388
Referencias generales
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- Bracho, Javier (1 de febrero de 2000). "Poliedros proyectivos regulares con caras planas II". Aequationes Mathematicae . 59 (1): 160-176. doi : 10.1007 / PL00000122 .
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