En geometría , la gyrobicupla cuadrada alargada o pseudo-rombicuboctaedro es uno de los sólidos de Johnson ( J 37 ). Por lo general, no se considera un sólido de Arquímedes , a pesar de que sus caras consisten en polígonos regulares que se encuentran en el mismo patrón en cada uno de sus vértices, porque a diferencia de los 13 sólidos de Arquímedes, carece de un conjunto de simetrías globales que llevan cada vértice a cualquier otro vértice (aunque Grünbaum ha sugerido que debería agregarse a la lista tradicional de sólidos de Arquímedes como un 14º ejemplo). Se parece mucho al pequeño rombicuboctaedro , pero no debe confundirse con él., que es un sólido de Arquímedes. También es un poliedro canónico .
Gyrobicupla cuadrada alargada | |
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Tipo | Johnson J 36 - J 37 - J 38 |
Caras | 8 triángulos 18 cuadrados |
Bordes | 48 |
Vértices | 24 |
Configuración de vértice | 8 + 16 (3,4 3 ) |
Grupo de simetría | D 4d |
Poliedro doble | Icositetraedro pseudodeltoideo |
Propiedades | convexo , figura de vértice singular |
Neto | |
Esta forma pudo haber sido descubierta por Johannes Kepler en su enumeración de los sólidos de Arquímedes, pero su primera aparición clara impresa parece ser obra de Duncan Sommerville en 1905. [1] Fue redescubierta independientemente por JCP Miller en 1930 (por error mientras intentaba construir un modelo del pequeño rombicuboctaedro [2] ) y nuevamente por VG Ashkinuse en 1957. [3]
Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que se componen de caras poligonales regulares pero no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos , sólidos de Arquímedes , prismas o antiprismas ). Fueron nombrados por Norman Johnson , quien primero enumeró estos poliedros en 1966. [4]
Construcción y relación con el rombicuboctaedro.
Como sugiere el nombre, se puede construir alargando una girobicúpula cuadrada ( J 29 ) e insertando un prisma octagonal entre sus dos mitades.
Rombicuboctaedro | Secciones explosionadas de rombicuboctaedro | Pseudo-rombicuboctaedro |
El sólido también puede verse como el resultado de girar una de las cúpulas cuadradas ( J 4 ) en un rombicuboctaedro (uno de los sólidos de Arquímedes ; también conocido como la ortobicúpula cuadrada alargada) en 45 grados. Por tanto, es un rombicuboctaedro girado . Su similitud con el rombicuboctaedro le da el nombre alternativo pseudo-rombicuboctaedro . En ocasiones se le ha referido como "el decimocuarto sólido de Arquímedes".
Esta propiedad no se traslada a su contraparte de cara pentagonal, el rombicosidodecaedro giratorio .
Simetría y clasificación
El pseudo-rombicuboctaedro posee simetría D 4d . Es localmente regular a los vértices: la disposición de las cuatro caras incidentes en cualquier vértice es la misma para todos los vértices; esto es único entre los sólidos de Johnson. Sin embargo, la forma en que se "tuerce" le da un "ecuador" distinto y dos "polos" distintos, que a su vez dividen sus vértices en 8 vértices "polares" (4 por polo) y 16 vértices "ecuatoriales". Por lo tanto, no es transitivo de vértice y , en consecuencia, generalmente no se considera uno de los sólidos de Arquímedes .
Con caras coloreadas por su simetría D 4d , puede verse así:
El icositetraedro pseudodeltoideo (derecha) es el poliedro dual . | |
Hay 8 cuadrados (verdes) alrededor de su ecuador , 4 triángulos (rojos) y 4 cuadrados (amarillos) arriba y abajo, y un cuadrado (azul) en cada polo.
Poliedros y panales relacionados
La girobicúpula cuadrada alargada puede formar un panal de abeja que llena el espacio con el tetraedro , el cubo y el cuboctaedro regulares . También puede formar otro panal con el tetraedro, la pirámide cuadrada y varias combinaciones de cubos, pirámides cuadradas alargadas y bipirámides cuadradas alargadas . [5]
El pseudo gran rombicuboctaedro es un análogo no convexo del pseudorombicuboctaedro, construido de manera similar a partir del gran rombicuboctaedro no convexo .
En Quimica
El ion polvanadato [ V 18 O 42 ] 12− tiene una estructura pseudo-rombicuboctaédrica, donde cada cara cuadrada actúa como la base de una pirámide VO 5 . [6]
Referencias
- ^ Sommerville, DMY (1905), "Redes semirregulares del plano en geometría absoluta" , Transacciones de la Royal Society of Edinburgh , 41 : 725–747, doi : 10.1017 / s0080456800035560. Como lo cita Grünbaum (2009) .
- ^ Rouse Ball (1939), Coxeter, HSM (ed.), Recreaciones y ensayos matemáticos (11 ed.), P. 137
- ^ Grünbaum, Branko (2009), "Un error perdurable" (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171 / EM / 120 , MR 2520469 Reimpreso en Pitici, Mircea, ed. (2011). The Best Writing on Mathematics 2010 . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 18–31..
- ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169-200, doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , Zbl 0132.14603.
- ^ "J37 honeycombs" , Gallery of Wooden Polyhedra , consultado el 21 de marzo de 2016
- ^ Greenwood, Norman N .; Earnshaw, Alan (1997). Química de los Elementos (2ª ed.). Butterworth-Heinemann . pag. 986. ISBN 978-0-08-037941-8.
Otras lecturas
- Anthony Pugh (1976), Polyhedra: A visual approach , California: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7Capítulo 2: Poliedros de Arquímedes, prisma y antiprismas, pág. 25 Pseudo-rombicuboctaedro
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Girobicúpula cuadrada alargada ( sólido de Johnson ) en MathWorld .
- George Hart: pseudo-rombicuboctaedro