Rombicuboctaedro | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2) |
Caras por lados | 8 {3} + (6 + 12) {4} |
Notación de Conway | eC o aaC aaaT |
Símbolos de Schläfli | rr {4,3} o |
t 0,2 {4,3} | |
Símbolo de Wythoff | 3 4 | 2 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | O h , B 3 , [4,3], (* 432), orden 48 |
Grupo de rotacion | O , [4,3] + , (432), orden 24 |
Ángulo diedro | 3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 ° |
Referencias | U 10 , C 22 , W 13 |
Propiedades | semiregular convexa |
Caras coloreadas | 3.4.4.4 ( figura de vértice ) |
Iicositetraedro deltoidal ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el rombicuboctaedro , o pequeño rombicuboctaedro , es un sólido de Arquímedes con ocho caras triangulares y dieciocho cuadradas . Hay 24 vértices idénticos, con un triángulo y tres cuadrados que se encuentran en cada uno. (Tenga en cuenta que seis de los cuadrados solo comparten vértices con los triángulos, mientras que los otros doce comparten una arista). El poliedro tiene simetría octaédrica , como el cubo y el octaedro . Su dual se llama icositetraedro deltoidal o icositetraedro trapezoidal, aunque sus caras no son realmente trapezoides verdaderos .
Nombres
Johannes Kepler en Harmonices Mundi (1618) nombró a este poliedro rombicuboctaedro , que es la abreviatura de rombo cuboctaédrico truncado , siendo el rombo cuboctaédrico su nombre para un dodecaedro rómbico . [1] Hay diferentes truncamientos de un dodecaedro rómbico en un rombicuboctaedro topológico : de manera prominente su rectificación (izquierda), la que crea el sólido uniforme (centro), y la rectificación del cuboctaedro dual (derecha), que es el núcleo de el compuesto dual .
También se le puede llamar cubo u octaedro expandido o cantelado , a partir de las operaciones de truncamiento en cualquiera de los poliedros uniformes .
Relaciones geométricas
Hay distorsiones del rombicuboctaedro que, si bien algunas de las caras no son polígonos regulares, siguen siendo uniformes en los vértices. Algunos de estos se pueden hacer tomando un cubo u octaedro y cortando los bordes, luego recortando las esquinas, de modo que el poliedro resultante tenga seis caras cuadradas y doce rectangulares. Estos tienen simetría octaédrica y forman una serie continua entre el cubo y el octaedro, análoga a las distorsiones del rombicosidodecaedro o las distorsiones tetraédricas del cuboctaedro . Sin embargo, el rombicuboctaedro también tiene un segundo conjunto de distorsiones con seis caras rectangulares y dieciséis trapezoidales, que no tienen simetría octaédrica sino simetría T h , por lo que son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro pero con reflejos diferentes.
Las líneas a lo largo de las cuales se puede girar un cubo de Rubik son, proyectadas sobre una esfera, similares, topológicamente idénticas, a los bordes de un rombicuboctaedro. De hecho, se han producido variantes que utilizan el mecanismo del cubo de Rubik que se parecen mucho al rombicuboctaedro. [2] [3]
El rombicuboctaedro se utiliza en tres mosaicos uniformes que llenan el espacio : el panal cúbico cantelado , el panal cúbico runcitruncado y el panal cúbico alternado runcinado .
Disección
El rombicuboctaedro se puede disecar en dos cúpulas cuadradas y un prisma octogonal central . Una rotación de uno cúpula 45 grados crea el pseudo-rombos-cubocta-hedron . Ambos poliedros tienen la misma figura de vértice: 3.4.4.4.
Hay tres pares de planos paralelos que se cruzan cada uno con el rombicuboctaedro en un octágono regular. El rombicuboctaedro se puede dividir a lo largo de cualquiera de estos para obtener un prisma octagonal con caras regulares y dos poliedros adicionales llamados cúpulas cuadradas , que se cuentan entre los sólidos de Johnson ; es por tanto una orto bicupla cuadrada alargada . Estas piezas se pueden volver a ensamblar para dar un nuevo sólido llamado girobicúpula cuadrada alargada o pseudorhombicuboctaedro , con la simetría de un antiprisma cuadrado. En este, los vértices son todos localmente iguales a los de un rombicuboctaedro, con un triángulo y tres cuadrados en cada uno, pero no todos son idénticos con respecto al poliedro completo, ya que algunos están más cerca del eje de simetría que otros.
Rombicuboctaedro | |
Pseudorhombicuboctaedro |
Proyecciones ortogonales
El rombicuboctaedro tiene seis proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, en dos tipos de aristas y tres tipos de caras: triángulos y dos cuadrados. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter B 2 y A 2 .
Centrado por | Vértice | Borde 3-4 | Borde 4-4 | Face Square-1 | Face Square-2 ( Cuadrado de cara -2) | Triángulo de la cara |
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Sólido | ||||||
Estructura alámbrica | ||||||
Simetría proyectiva | [2] | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Doble |
Baldosas esféricas
El rombicuboctaedro también se puede representar como un mosaico esférico y proyectar en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
(6) centrado en el cuadrado | (6) centrado en el cuadrado | (8) centrado en un triángulo | |
Proyección ortogonal | Proyecciones estereográficas |
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Simetría piritoédrica
Una forma de media simetría del rombicuboctaedro, , existe con simetría piritoédrica , [4,3 + ], (3 * 2) como diagrama de Coxeter , Símbolo de Schläfli s 2 {3,4}, y se puede llamar un octaedro chato cántico . Esta forma se puede visualizar coloreando alternativamente los bordes de los 6 cuadrados . Estos cuadrados se pueden distorsionar en rectángulos , mientras que los 8 triángulos permanecen equiláteros. Las 12 caras cuadradas diagonales se convertirán en trapezoides isósceles . En el límite, los rectángulos se pueden reducir a bordes, y los trapezoides se convierten en triángulos, y se forma un icosaedro , mediante una construcción de octaedro chato ,, s {3,4}. (El compuesto de dos icosaedros se construye a partir de ambas posiciones alternas).
Variaciones de simetría piritoédrica | |||||||||
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Geometría uniforme | Geometría no uniforme | Geometría no uniforme | En el límite, un octaedro chato de icosaedro ,, desde una de las dos posiciones. | Compuesto de dos icosaedros de ambas posiciones alternadas. |
Propiedades algebraicas
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un rombicuboctaedro centrado en el origen, con una longitud de borde de 2 unidades, son todas las permutaciones pares de
- (± 1, ± 1, ± (1 + √ 2 )).
Si el rombicuboctaedro original tiene una longitud de borde unitaria, su icositetraedro estrómbico dual tiene longitudes de borde
Área y volumen
El área A y el volumen V del rombicuboctaedro de longitud de borde a son:
Densidad de empaquetamiento cercano
La fracción de empaquetamiento óptima de rombicuboctaedros está dada por
- .
Se notó que este valor óptimo se obtiene en una celosía de Bravais por de Graaf ( 2011 ). Dado que el rombicuboctaedro está contenido en un dodecaedro rómbico cuya esfera inscrita es idéntica a su propia esfera inscrita, el valor de la fracción de empaquetamiento óptima es un corolario de la conjetura de Kepler : se puede lograr poniendo un rombicuboctaedro en cada celda del dodecaedro rómbico nido de abeja , y no se puede superar, ya que de lo contrario se podría superar la densidad óptima de empaquetamiento de esferas colocando una esfera en cada rombicuboctaedro del hipotético empaquetamiento que lo supere.
En las artes
El Retrato de Luca Pacioli de 1495 , atribuido tradicionalmente a Jacopo de 'Barbari , incluye un rombicuboctaedro de vidrio medio lleno de agua, que puede haber sido pintado por Leonardo da Vinci . [5] La primera versión impresa del rombicuboctaedro fue de Leonardo y apareció en la Divina proporione de Pacioli (1509).
Se puede proyectar una panorámica esférica de 180 ° × 360 ° sobre cualquier poliedro; pero el rombicuboctaedro proporciona una aproximación suficientemente buena de una esfera a la vez que es fácil de construir. Este tipo de proyección, llamada Philosphere , es posible desde algún software de ensamblaje de panoramas. Consta de dos imágenes que se imprimen por separado y se cortan con tijeras dejando unas solapas para su montaje con cola. [6]
Objetos
Los juegos de Freescape Driller y Dark Side tenían un mapa del juego en forma de rombicuboctaedro.
La "Galaxia Rápida-Escurridiza" y la "Galaxia Sea Slide" en el videojuego Super Mario Galaxy tienen planetas en forma similar a un rombicuboctaedro.
Sonic the Hedgehog 3 ' s Icecap Zona cuenta con pilares rematados con rhombicuboctahedra.
Durante la locura del cubo de Rubik de la década de 1980, al menos dos rompecabezas retorcidos vendidos tenían la forma de un rombicuboctaedro (el mecanismo era similar al de un cubo de Rubik ). [2] [3]
Reloj de sol (1596)
Reloj de sol
Farola en Mainz
Muere con 18 caras etiquetadas
Blanco de tiro de Cabela
Serpiente de Rubik
Variación del cubo de Rubik
Cristal de pirita
Poliedros relacionados
El rombicuboctaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Mutaciones de simetría
Este poliedro está relacionada topológicamente con como una parte de la secuencia de cantellated poliedros con la figura vértice (3.4. N 0.4), y continúa como embaldosados del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (* n 32) simetría de reflexión .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones expandidas: 3.4. n. 4 | ||||||||
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Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Figura | ||||||||
Config. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
* n 42 mutación de simetría de teselaciones expandidas: n .4.4.4 | |||||||||||
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Simetría [n, 4], (* n 42) | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | |||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] | * ∞42 [∞, 4] | |||||
Figuras ampliadas | |||||||||||
Config. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Rómbica cifras config. | V3.4.4.4 | V4.4.4.4 | V5.4.4.4 | V6.4.4.4 | V7.4.4.4 | V8.4.4.4 | V∞.4.4.4 |
Disposición de vértice
Comparte su disposición de vértice con tres poliedros uniformes no convexos : el hexaedro truncado estrellado , el pequeño rombihexaedro (que tiene las caras triangulares y las seis caras cuadradas en común) y el pequeño cuboctaedro cúbico (que tiene doce caras cuadradas en común).
Rombicuboctaedro | Cubicuboctaedro pequeño | Pequeño rombihexaedro | Hexaedro truncado estrellado |
Gráfico rombicuboctaédrico | |
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Vértices | 24 |
Bordes | 48 |
Automorfismos | 48 |
Propiedades | Gráfico cuartico , hamiltoniano , regular |
Tabla de gráficos y parámetros |
Gráfico rombicuboctaédrico
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo rombicuboctaédrico es el gráfico de vértices y aristas del rombicuboctaedro, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 24 vértices y 48 aristas, y es un gráfico cuartico de Arquímedes . [7]
Ver también
- Compuesto de cinco rombicuboctaedros
- Cubo
- Cuboctaedro
- Gran rombicuboctaedro no convexo
- Rombicuboctaedro truncado
- Gyrobicupla cuadrada alargada
- Estrella de Moravia
- Octaedro
- Rombicosidodecaedro
- Serpiente de Rubik : rompecabezas que puede formar una "bola" de rombicuboctaedro
- Biblioteca Nacional de Bielorrusia : su componente arquitectónico principal tiene la forma de un rombicuboctaedro.
- Cuboctaedro truncado (gran rombicuboctaedro)
Referencias
- ^ Armonías del mundo de Johannes Kepler, traducido al inglés con una introducción y notas de EJ Aiton , AM Duncan , JV Field , 1997, ISBN 0-87169-209-0 (página 119)
- ^ a b "Bola de rompecabezas soviética" . TwistyPuzzles.com . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
- ^ a b "Rompecabezas estilo diamante" . Página de rompecabezas de Jaap . Consultado el 31 de mayo de 2017 .
- ^ RitrattoPacioli.it
- ^ MacKinnon, Nick (1993). "El Retrato de Fra Luca Pacioli". La Gaceta Matemática . 77 (479): 143. doi : 10.2307 / 3619717 .
- ^ Filósfera
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press, pág. 269
Otras lecturas
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
- Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (13 de mayo de 1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 246 (916): 401–450. Código bibliográfico : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 .
- de Graaf, J .; van Roij, R .; Dijkstra, M. (2011), "Empaquetamientos regulares densos de partículas irregulares no convexas", Phys. Rev. Lett. , 107 : 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , doi : 10.1103 / PhysRevLett.107.155501 , PMID 22107298
- Betke, U .; Henk, M. (2000), "Empaquetaduras de celosía más densas de 3-politopos", Comput. Geom. , 16 : 157, arXiv : matemáticas / 9909172 , doi : 10.1016 / S0925-7721 (00) 00007-9
- Torquato, S .; Jiao, Y. (2009), "Empaquetaduras densas de los sólidos platónicos y de Arquímedes", Nature , 460 : 876, arXiv : 0908.4107 , Bibcode : 2009Natur.460..876T , doi : 10.1038 / nature08239 , PMID 19675649
- Hales, Thomas C. (2005), "Una prueba de la conjetura de Kepler", Annals of Mathematics , 162 : 1065, arXiv : math / 9811078v2 , doi : 10.4007 / annals.2005.162.1065
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Rhombicuboctahedron ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Pequeño gráfico rombicuboctaédrico" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o4x - sirco" .
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Red imprimible editable de un rombicuboctaedro con vista 3D interactiva
- Rhombicuboctahedron Star por Sándor Kabai, Wolfram Demonstrations Project .
- Rombicuboctaedro: tiras de papel para trenzar