En matemáticas , un operador de clase de traza es un operador compacto para el que se puede definir una traza , de modo que la traza es finita e independiente de la elección de la base. Los operadores de clase de rastreo son esencialmente los mismos que los operadores nucleares , aunque muchos autores reservan el término "operador de clase de rastreo" para el caso especial de los operadores nucleares en espacios de Hilbert y reservan "operador nuclear" para su uso en espacios vectoriales topológicos más generales (como como espacios de Banach ).
Definición
El rastro , denotado pordel operador lineal A para ser la suma de la serie [1]
donde esta suma es independiente de la elección de la base ortonormal de H y donde esta suma es igual a si no converge.
Si H es de dimensión finita, entonceses igual a la definición habitual de la traza .
Para cualquier operador lineal acotado sobre un espacio de Hilbert H , definimos su valor absoluto , denotado por, para ser la raíz cuadrada positiva de es decir, es el único operador positivo acotado en H tal que
Se puede demostrar que un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert es una clase de seguimiento si y solo si su valor absoluto es una clase de seguimiento. [1]
Un operador lineal acotado sobre un espacio de Hilbert, se dice que H está en la clase de rastreo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- T es un operador nuclear .
- T es igual a la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt . [1]
- es un operador de Hilbert-Schmidt . [1]
- T es un operador integral . [2]
- existen subconjuntos débilmente cerrados y equicontinuos (y por lo tanto débilmente compactos ) y de y respectivamente, y alguna medida positiva de radón en de masa total tal que para todos y :
- existen dos secuencias ortogonales y en H y una secuencia en tal que para todos [3]
- Aquí, la suma infinita significa que la secuencia de sumas parciales converge a en H .
- T es un operador compacto y dónde son los valores propios de con cada valor propio repetido tan a menudo como su multiplicidad. [1]
- Recuerde que la multiplicidad de un valor propio r es la dimensión del núcleo de dónde es el mapa de identidad.
- por alguna base ortonormal de H , la suma de términos positivos es finito.
- la condición anterior pero con la palabra "algunos" reemplazada por "todos".
- el mapa de transposición es la clase de rastreo (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta), en cuyo caso [4]
- Recuerde que la transpuesta de T está definida por para todos perteneciente al espacio dual continuo de H . El subíndice b indica que tiene su topología de norma habitual.
- [1]
y si T aún no es un operador positivo, podemos agregar a esta lista:
- el operador es la clase de rastreo (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta).
Norma de seguimiento
Si T es una clase de rastreo, entonces definimos la norma de rastreo de un operador de clase de rastreo T como el valor común
(donde se puede demostrar que la última igualdad se cumple necesariamente). Denotamos el espacio de todos los operadores lineales de clase de rastreo en H por
Si T es una clase de rastreo, entonces
Cuando H es de dimensión finita, todo operador es una clase de traza y esta definición de traza de A coincide con la definición de traza de una matriz .
Por extensión, si A es un operador autoadjunto no negativo , también podemos definir la traza de A como un número real extendido por la suma posiblemente divergente
donde esta suma es independiente de la elección de la base ortonormal de H .
Ejemplos de
Todo operador lineal acotado que tiene un rango de dimensión finita (es decir, operadores de rango finito) es una clase de traza; [1] además, el espacio de todos los operadores de rango finito es un subespacio denso de B 1 ( H ) (cuando está dotado con elnorma). [5] La composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt es un operador de clase de rastreo. [1]
Dado cualquier definir por que es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, es una clase de rastreo; además, para cualquier operador lineal acotado A en H (y en H ),[5]
Propiedades
- Si es un autoadjunto no negativo, entonces A es traza-clase si y solo siPor lo tanto, un operador autoadjunto A es de clase de rastreo si y solo si su parte positiva A + y la parte negativa A - son ambas de clase de rastreo. (Las partes positivas y negativas de un operador autoadjunto se obtienen mediante el cálculo funcional continuo ).
- La traza es un funcional lineal sobre el espacio de los operadores de clase de traza, es decir
- es un funcional lineal positivo tal que si T es un operador de clase de rastreo tal que y luego [1]
- Si es trace-class, entonces también lo es T * y[1]
- Si está acotado, y es de clase de rastreo, AT y TA también son de clase de rastreo, y [6] [1]
- [1]
- y [1]
- El espacio de los operadores de clase rastro en H es un ideales en el espacio de operadores lineales delimitadas en H . [1]
- Si y son dos bases ortonormales de H y si T es una clase de traza, entonces[5]
- Si A es una clase de traza, entonces se puede definir el determinante de Fredholm de:
- Si es una clase de rastreo para cualquier base ortonormal de H , la suma de términos positivoses finito. [1]
- Si para algunos operadores B y C de Hilbert-Schmidt , entonces para cualquier vector normal e en H tenemos[1]
Teorema de Lidskii
Dejar ser un operador de clase de rastreo en un espacio de Hilbert separable y deja ser los valores propios de Asumamos que se enumeran teniendo en cuenta las multiplicidades algebraicas (es decir, si la multiplicidad algebraica de es luego se repite tiempos en la lista ). El teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii ) establece que
Tenga en cuenta que la serie de la izquierda converge absolutamente debido a la desigualdad de Weyl
entre los valores propios y los valores singulares de un operador compacto [7]
Relación entre algunas clases de operadores
Se pueden ver ciertas clases de operadores acotados como análogos no conmutativos de los espacios de secuencia clásicos , con los operadores de clase de traza como el análogo no conmutativo del espacio de secuencia.
De hecho, es posible aplicar el teorema espectral para demostrar que cada operador normal de clase de trazas en un espacio de Hilbert separable puede realizarse de cierta manera como unsecuencia con respecto a alguna elección de un par de bases de Hilbert. En la misma línea, los operadores acotados son versiones no conmutativas delos operadores compactos que de (las secuencias convergentes a 0), los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a y operadores de rango finito (las secuencias que tienen sólo un número finito de términos distintos de cero). Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes conmutativas.
Recuerde que cada operador compacto T en un espacio de Hilbert toma la siguiente forma canónica, para todos:
para algunas bases ortonormales y Para hacer los comentarios heurísticos anteriores más precisos, tenemos que T es clase de rastreo si la seriees convergente, T es Hilbert-Schmidt sies convergente, y T es de rango finito si la secuencia tiene sólo un número finito de términos distintos de cero.
La descripción anterior permite obtener fácilmente algunos hechos que relacionan estas clases de operadores. Por ejemplo, las siguientes inclusiones se mantienen y son todas adecuadas cuando H es de dimensión infinita: {rango finito} ⊂ {clase de traza} ⊂ {Hilbert – Schmidt} ⊂ {compacto}.
Los operadores de clase de rastreo reciben la norma de rastreo. La norma correspondiente al producto interno de Hilbert-Schmidt es
Además, la norma habitual del operador es Por las desigualdades clásicas con respecto a las secuencias,
para T apropiado .
También está claro que los operadores de rango finito son densos tanto en la clase de trazas como en Hilbert-Schmidt en sus respectivas normas.
Trace la clase como el dual de los operadores compactos
El espacio dual de es De manera similar, tenemos que el dual de operadores compactos, denotado por son los operadores de clase de rastreo, denotados por El argumento, que ahora esbozamos, recuerda al de los espacios de secuencia correspondientes. Dejaridentificamos f con el operador definido por
dónde es el operador de rango uno dado por
Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito son densos en normas en En caso de que es un operador positivo, para cualquier base ortonormal u i , uno tiene
donde yo es el operador de identidad:
Pero esto significa que es de clase de rastreo. Una apelación a la descomposición polar extiende esto al caso general, donde no es necesario que sea positivo.
Un argumento limitante que utiliza operadores de rango finito muestra que Por lo tanto es isométricamente isomorfo a
Como predual de operadores acotados
Recuerde que el dual de es En el contexto actual, el dual de los operadores de clase de rastreo son los operadores acotados B ( H ). Más precisamente, el conjuntoes un ideal de dos caras en B ( H ). Entonces, dado cualquier operador T en B ( H ), podemos definir un funcional lineal continuo en por Esta correspondencia entre elementos y operadores lineales acotados del espacio dual dees un isomorfismo isométrico . De ello se deduce que B ( H ) es el espacio dual deEsto se puede utilizar para definir la topología débil * en B ( H ).
Ver también
- Operador nuclear
- Operadores nucleares entre espacios de Banach
Notas
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p Conway 1990 , pág. 267.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 502-508.
- ^ Trèves , 2006 , p. 494.
- ^ Trèves , 2006 , p. 484.
- ↑ a b c d Conway , 1990 , p. 268.
- ^ M. Reed y B. Simon, Análisis funcional , ejercicios 27, 28, página 218.
- ^ Simon, B. (2005) Trace ideales y sus aplicaciones , segunda edición, American Mathematical Society.
Referencias
- Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . Gauthier-Villars.
- Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 3 . Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .