En varias áreas matemáticas , incluido el análisis armónico , la topología y la teoría de números , los grupos abelianos localmente compactos son grupos abelianos que tienen una topología particularmente conveniente. Por ejemplo, el grupo de enteros (equipados con la topología discreta ), o los números reales o el círculo (ambos con su topología habitual) son grupos abelianos localmente compactos.
Definición y ejemplos
Un grupo topológico se denomina localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y de Hausdorff ; el grupo topológico se llama abeliano si el grupo subyacente es abeliano .
Ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen:
- para n un entero positivo, con la suma de vectores como operación de grupo.
- Los números reales positivos con la multiplicación como operación. Este grupo es isomorfo a por el mapa exponencial.
- Cualquier grupo abeliano finito, con la topología discreta . Según el teorema de la estructura de los grupos abelianos finitos , todos estos grupos son productos de grupos cíclicos.
- Los enteros además, de nuevo con la topología discreta.
- El grupo circular , denotadopara toro . Este es el grupo de números complejos de módulo 1.es isomorfo como grupo topológico al grupo cociente .
- El campo de números p -ádicos bajo adición, con la topología p -ádica habitual .
El grupo dual
Si es un grupo abeliano localmente compacto , un personaje dees un homomorfismo de grupo continuo decon valores en el grupo circular . El conjunto de todos los personajes enpuede convertirse en un grupo abeliano localmente compacto, llamado el grupo dual de y denotado . La operación de grupo en el grupo dual viene dada por la multiplicación puntual de caracteres, la inversa de un carácter es su conjugado complejo y la topología en el espacio de caracteres es la de convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología compacta-abierta , visualización como un subconjunto del espacio de todas las funciones continuas de a .). En general, esta topología no es metrizable. Sin embargo, si el grupoes un grupo abeliano localmente compacto separable , entonces el grupo dual es metrizable.
Esto es análogo al espacio dual en álgebra lineal: al igual que para un espacio vectorial sobre un campo , el espacio dual es , también lo es el grupo dual . De manera más abstracta, ambos son ejemplos de functores representables , representados respectivamente por y .
Un grupo que es isomorfo (como grupos topológicos) a su grupo dual se llama auto-dual . Si bien los grupos cíclicos reales y finitos son auto-duales, el grupo y el grupo dual no son naturalmente isomórficos y deben considerarse como dos grupos diferentes.
Ejemplos de grupos duales
El dual de es isomorfo al grupo circular . Un carácter en el grupo cíclico infinito de números enteros. bajo suma se determina por su valor en el generador 1. Por lo tanto, para cualquier carácter en , . Además, esta fórmula define un carácter para cualquier elección de en . La topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos es en este caso la topología de convergencia puntual . Ésta es la topología del grupo circular heredada de los números complejos.
El dual de es canónicamente isomorfo con . De hecho, un personaje en es de la forma por un entero. Desdees compacta, la topología en el grupo dual es la de convergencia uniforme, que resulta ser la topología discreta .
El grupo de los números reales , es isomorfo a su propio dual; los personajes en son de la forma por un número real. Con estas dualidades, la versión de la transformada de Fourier que se introducirá a continuación coincide con la transformada de Fourier clásica en.
Análogamente, el grupo de -números ádicos es isomorfo a su dual. (De hecho, cualquier extensión finita detambién es auto-dual.) Se sigue que los adeles son auto-dual.
Dualidad Pontryagin
La dualidad de Pontryagin afirma que el functor
induce una equivalencia de categorías entre el opuesto de la categoría de grupos abelianos localmente compactos (con morfismos continuos) y él mismo:
Propiedades categóricas
Clausen (2017) muestra que la categoría LCA de grupos abelianos compactos localmente mide, hablando muy aproximadamente, la diferencia entre los enteros y los reales. Más precisamente, el espectro de la teoría K algebraica de la categoría de grupos abelianos localmente compactos y los de Z y R se encuentran en una secuencia de fibras homotópicas.
Referencias
- Clausen, Dustin (2017), Un enfoque teórico-K de los mapas de Artin , arXiv : 1703.07842v2