En geometría algebraica, la dimensión de un esquema es una generalización de una dimensión de una variedad algebraica . La teoría de esquemas enfatiza el punto de vista relativo y, en consecuencia, también es importante la dimensión relativa del morfismo de los esquemas .
Definición
Por definición, la dimensión de un esquema X es la dimensión del espacio topológico subyacente: el supremo de las longitudes ℓ de cadenas de subconjuntos cerrados irreductibles:
En particular, si es un esquema afín, a continuación, dichas cadenas corresponden a cadenas de ideales primos (inclusión invertida) y así la dimensión de X es precisamente la dimensión Krull de A .
Si Y es un subconjunto cerrado irreducible de un esquema X , entonces la codimensión de Y en X es el supremo de las longitudes ℓ de cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles:
Un subconjunto irreducible de X es un componente irreducible de X si y solo si su codimensión en X es cero. Sies afín, entonces el codimensión de Y en X es precisamente la altura de la ideal primo definiendo Y en X .
Ejemplos de
- Si un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo es vista como un esquema sobre el campo, [nota 1] a continuación, la dimensión del esquema V es la misma que la dimensión del vector en el espacio de V .
- Dejar , k un campo. Entonces tiene dimensión 2 (ya que contiene el hiperplanocomo componente irreductible). Si x es un punto cerrado de X , entonceses 2 si x está en H y es 1 si está en. Por lo tanto,para puntos cerrados x puede variar.
- Dejar ser una prevariedad algebraica; es decir, un esquema integral de tipo finito sobre un campo. Entonces la dimensión dees el grado de trascendencia del campo funcional de encima . [3] Además, si es un subconjunto abierto no vacío de , luego . [4]
- Sea R un anillo de valoración discreto yla línea afín sobre él. Dejar ser la proyección. consta de 2 puntos, correspondiente al ideal máximo y cerrado y el ideal cero y abierto. Entonces las fibrasestán cerrados y abiertos, respectivamente. Notamos esotiene dimensión uno, [nota 2] mientras tiene dimensión y es denso en . Por tanto, la dimensión del cierre de un subconjunto abierto puede ser estrictamente mayor que la del conjunto abierto.
- Continuando con el mismo ejemplo, dejemos ser el ideal máximo de R yun generador. Notamos esotiene ideales máximos de altura dos y altura uno; a saber, y el núcleo de . El primer ideal es máxima ya que el campo de fracciones de R . También,tiene altura uno según el teorema ideal principal de Krull y tiene altura dos desde . Como consecuencia,
- mientras que X es irreductible.
Esquema equidimensional
Un esquema equidimensional (o esquema dimensional puro ) es un esquema cuyos componentes irreductibles son de la misma dimensión (asumiendo implícitamente que las dimensiones están bien definidas).
Ejemplos de
Todos los esquemas irreductibles son equidimensionales. [5]
En el espacio afín , la unión de una línea y un punto que no está en la línea no es equidimensional. En general, si dos subesquemas cerrados de algún esquema, ninguno de los cuales contiene al otro, tienen dimensiones desiguales, entonces su unión no es equidimensional.
Si un esquema es suave (por ejemplo, étale ) sobre Spec k para algún campo k , entonces cada componente conectado (que es de hecho un componente irreducible), es equidimensional.
Ver también
Notas
- ^ Hartshorne , cap. Yo, justo después del Corolario 1.6.
- ^ Hartshorne , cap. II, justo después del ejemplo 3.2.6.
- ^ Hartshorne , cap. II, Ejercicio 3.20. (B)
- ^ Hartshorne , cap. II, Ejercicio 3.20. (mi)
- ^ Dundas, Bjorn Ian; Jahren, Björn; Levine, Marc; Østvær, PA; Röndigs, Oliver; Voevodsky, Vladimir (2007), Motivic Homotopy Theory: Conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid, Noruega, agosto de 2002 , Springer, p. 101, ISBN 9783540458975.
Referencias
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
enlaces externos
- https://stacks.math.columbia.edu/tag/04MS
- https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NI