Triángulo equilátero

En geometría , un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados tienen la misma longitud. En la geometría euclidiana familiar , un triángulo equilátero también es equiangular ; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y son cada uno de 60 °. También es un polígono regular , por lo que también se lo conoce como triángulo regular .

Denotando la longitud común de los lados del triángulo equilátero como , podemos determinar usando el teorema de Pitágoras que:${\ Displaystyle a}$

Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice desde el lado opuesto:

En un triángulo equilátero, las altitudes, las bisectrices de los ángulos, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado coinciden.

Un triángulo ABC que tiene los lados a , b , c , semiperímetro s , área T , exradii r _a , r _b , r _c (tangente a a , b , c respectivamente), y donde R y r son los radios del circuncírculo e incírculo respectivamente, es equilátero si y sólo sicualquiera de las afirmaciones de las nueve categorías siguientes es verdadera. Por lo tanto, estas son propiedades que son exclusivas de los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellos es verdadero implica directamente que tenemos un triángulo equilátero.

Cada centro de triángulo de un triángulo equilátero coincide con su centroide , lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo sin una línea de Euler que conecte algunos de los centros. Para algunos pares de centros de triángulos, el hecho de que coincidan es suficiente para asegurar que el triángulo sea equilátero. En particular:

Un triángulo equilátero. Tiene lados iguales ( ), ángulos iguales ( ) y altitudes iguales ( ).${\ Displaystyle a = b = c}$${\ Displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma}$${\ Displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}$

Prueba visual del teorema de Viviani

1.	Se muestran las distancias más cercanas desde el punto P a los lados del triángulo equilátero ABC.
2.	Las líneas DE, FG y HI paralelas a AB, BC y CA, respectivamente, definen triángulos más pequeños PHE, PFI y PDG.
3.	Como estos triángulos son equiláteros, sus altitudes se pueden rotar para que sean verticales.
4.	Como PGCH es un paralelogramo, el triángulo PHE se puede deslizar hacia arriba para mostrar que las altitudes suman las del triángulo ABC.

Un tetraedro regular está formado por cuatro triángulos equiláteros.

Construcción de triángulo equilátero con brújula y regla

Un triángulo equilátero con un lado de 2 tiene una altura de √ 3 , ya que el seno de 60 ° es √ 3 /2 .