La raíz cuadrada de 3 es el número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número 3 . Se denota matemáticamente como √ 3 . Se llama más precisamente raíz cuadrada principal de 3 , para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. La raíz cuadrada de 3 es un número irracional . También se conoce como la constante de Theodorus , después de Theodorus de Cyrene , quien demostró su irracionalidad.
A diciembre de 2013, su valor numérico en notación decimal se había calculado en al menos diez mil millones de dígitos. [1] Su expansión decimal , escrita aquí a 65 lugares decimales, viene dada por OEIS : A002194 :
- 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
Binario | 1,1011 1011 0110 0111 1010 … |
Decimal | 1,73205 08075 68877 2935… |
Hexadecimal | 1.BB67 AE85 84CA A73B … |
Fracción continua |
La fracción 97/56 (1.732 142 857 ...) se puede utilizar como una aproximación. A pesar de tener un denominador de solo 56, se diferencia del valor correcto en menos de 1/10,000 (aproximadamente 9,2 × 10 −5 ). El valor redondeado de 1,732 es correcto dentro del 0,01% del valor real.
Arquímedes informó un rango para su valor: (1351/780)2
> 3> (265/153)2
; [2] el límite inferior con una precisión de 1/608400 (seis lugares decimales) y el límite superior a 2/23409 (cuatro decimales).
Expresiones
Puede expresarse como la fracción continua [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] (secuencia A040001 en la OEIS ).
Entonces es cierto decir:
entonces cuando :
También se puede expresar mediante fracciones continuas generalizadas como
que es [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] evaluados cada segundo trimestre.
Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen en √ 3 :
Prueba de irracionalidad
Esta prueba de irracionalidad para el √ 3 usa el método de descenso infinito de Fermat :
Suponga que √ 3 es racional y expreselo en los términos más bajos posibles (es decir, como una fracción completamente reducida ) comometro/nortepara números naturales m y n .
Por lo tanto, multiplicar por 1 dará una expresión igual:
donde q es el entero más grande menor que √ 3 . Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador se han multiplicado por un número menor que 1.
A través de esto, y multiplicando tanto el numerador como el denominador, obtenemos:
De ello se deduce que m se puede reemplazar con √ 3 n :
Entonces, √ 3 también se puede reemplazar conmetro/norte en el denominador:
El cuadrado de √ 3 se puede reemplazar por 3. Comometro/nortese multiplica por n , su producto es igual a m :
Entonces √ 3 se puede expresar en términos menores quemetro/norte (dado que el primer paso redujo los tamaños tanto del numerador como del denominador, y los pasos posteriores no los cambiaron) como 3 n - mq/m - nq, que contradice la hipótesis de que metro/norteestaba en los términos más bajos. [3]
Una prueba alternativa de esto es, asumiendo √ 3 = metro/norte con metro/nortesiendo una fracción completamente reducida :
Multiplicar por n ambos términos y luego elevar ambos al cuadrado da
Dado que el lado izquierdo es divisible por 3, también lo es el lado derecho, lo que requiere que m sea divisible por 3. Entonces, m se puede expresar como 3 k :
Por lo tanto, dividir ambos términos por 3 da:
Dado que el lado derecho es divisible por 3, también lo es el lado izquierdo y, por lo tanto, n . Por tanto, como n y m son divisibles por 3, tienen un factor común ymetro/norte no es una fracción completamente reducida, lo que contradice la premisa original.
Geometría y trigonometría
La raíz cuadrada de 3 se puede encontrar como la longitud del cateto de un triángulo equilátero que abarca un círculo con un diámetro de 1.
Si un triángulo equilátero con lados de longitud 1 se corta en dos mitades iguales, al dividir en dos mitades un ángulo interno para formar un ángulo recto con un lado, la hipotenusa del triángulo de ángulo recto es de longitud uno y los lados son de longitud 1/2 y √ 3/2. A partir de esto, la función trigonométrica tangente de 60 ° es igual a √ 3 , y el seno de 60 ° y el coseno de 30 ° son ambos iguales √ 3/2.
La raíz cuadrada de 3 también aparece en expresiones algebraicas para varias otras constantes trigonométricas , incluyendo [4] los senos de 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° y 87 °.
Es la distancia entre los lados paralelos de un hexágono regular con lados de longitud 1. En el plano complejo , esta distancia se expresa como i √ 3 mencionado a continuación .
Es la longitud de la diagonal espacial de una unidad de cubo .
La vesica piscis tiene una relación de eje mayor a eje menor igual a 1: √ 3 , esto se puede demostrar construyendo dos triángulos equiláteros dentro de ella.
Raíz cuadrada de −3
La multiplicación de √ 3 por la unidad imaginaria da una raíz cuadrada de -3 , un número imaginario . Más exactamente,
(ver raíz cuadrada de números negativos ). Es un número entero de Eisenstein . Es decir, se expresa como la diferencia entre dos raíces cúbicas no reales de 1 (que son números enteros de Eisenstein).
Otros usos
Ingeniería de la Energía
En ingeniería energética , el voltaje entre dos fases en un sistema trifásico es igual a √ 3 veces el voltaje de línea al neutro. Esto se debe a que dos fases cualesquiera están separadas por 120 °, y dos puntos en un círculo separados por 120 grados están separados por √ 3 veces el radio (ver ejemplos de geometría arriba).
Ver también
- Raíz cuadrada de 2
- Raíz cuadrada de 5
Notas
- ^ Łukasz Komsta. "Cálculos | Łukasz Komsta" . komsta.net . Consultado el 24 de septiembre de 2016 .
- ^ Knorr, Wilbur R. (1976), "Arquímedes y la medida del círculo: una nueva interpretación", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 15 (2): 115-140, doi : 10.1007 / bf00348496 , JSTOR 41133444 , MR 0497462 , S2CID 120954547.
- ^ Grant, M .; Perella, M. (julio de 1999). "Descendiendo a lo irracional". Gaceta matemática . 83 (497): 263–267. doi : 10.2307 / 3619054 . JSTOR 3619054 .
- ^ Julian DA Wiseman Sin y Cos en Surds
Referencias
- DAKOTA DEL SUR.; Jones, MF (1968). "Aproximaciones 22900D a las raíces cuadradas de los números primos menores de 100". Matemáticas de la Computación . 22 (101): 234–235. doi : 10.2307 / 2004806 . JSTOR 2004806 .
- Uhler, HS (1951). "Aproximaciones superiores a 1300 decimales para 3 {\ Displaystyle {\ sqrt {3}}} , 1 3 {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}} , pecado ( π 3 ) {\ Displaystyle \ sin ({\ frac {\ pi} {3}})} y distribución de dígitos en ellos" . Proc Natl Acad Sci EE.UU..... . 37 (7): 443-447. doi : 10.1073 / pnas.37.7.443 . PMC 1.063.398 . PMID 16578382 .
- Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Ed. Revisada). Londres: Penguin Group. pag. 23.
enlaces externos
- La constante de Theodorus en MathWorld
- [1] Kevin Brown
- [2] EB Davis