Relaciones binarias | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad . |
En matemáticas , una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva . La relación "es igual a" es el ejemplo canónico de una relación de equivalencia.
Cada relación de equivalencia proporciona una partición del conjunto subyacente en clases de equivalencia disjuntas . Dos elementos del conjunto dado son equivalentes entre sí, si y solo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Notación
Varios notaciones se utilizan en la literatura para indicar que dos elementos de una y b de un conjunto son equivalentes con respecto a una relación de equivalencia R ; los más comunes son " a ~ b " y " a ≡ b ", que se utilizan cuando R está implícito, y variaciones de " a ~ R b ", " a ≡ R b " o ""para especificar R explícitamente. La no equivalencia puede escribirse" a ≁ b "o"".
Definición
Se dice que una relación binaria ~ en un conjunto X es una relación de equivalencia, si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, para todos un , b y c en X :
- a ~ a . ( Reflexividad )
- a ~ b si y solo si b ~ a . ( Simetría )
- si a ~ b y b ~ c , entonces a ~ c . ( Transitividad )
X junto con la relación ~ se llama setoide . La clase de equivalencia de debajo de ~, denotado , [1] se define como. [2] [3]
Ejemplos de
Ejemplo simple
Deja el set tener la relación de equivalencia . Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:
- .
El conjunto de todas las clases de equivalencia para esta relación es . Este conjunto es una partición del conjunto..
Relaciones de equivalencia
Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:
- "Es igual a" en el conjunto de números. Por ejemplo, es igual a . [3]
- "Tiene el mismo cumpleaños que" en el set de todas las personas.
- "Es similar a" en el conjunto de todos los triángulos .
- "Es congruente con" en el conjunto de todos los triángulos .
- "Es congruente con módulo n " en los enteros . [3]
- "Tiene la misma imagen bajo una función " sobre los elementos del dominio de la función .
- "Tiene el mismo valor absoluto" en el conjunto de números reales
- "Tiene el mismo coseno" en el conjunto de todos los ángulos.
Relaciones que no son equivalencias
- La relación "≥" entre números reales es reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Por ejemplo, 7 ≥ 5 no implica que 5 ≥ 7. Sin embargo, es un pedido total .
- La relación "tiene un factor común mayor que 1 con" entre números naturales mayores que 1, es reflexiva y simétrica, pero no transitiva. Por ejemplo, los números naturales 2 y 6 tienen un factor común mayor que 1, y 6 y 3 tienen un factor común mayor que 1, pero 2 y 3 no tienen un factor común mayor que 1.
- La relación vacío R (definido de manera que aRb no es verdad) en un no vacío conjunto X es vacuamente simétrica y transitiva, pero no reflexivo. (Si X también está vacío, entonces R es reflexivo).
- La relación "es aproximadamente igual a" entre números reales, incluso si se define con mayor precisión, no es una relación de equivalencia, porque aunque reflexiva y simétrica, no es transitiva, ya que múltiples pequeños cambios pueden acumularse para convertirse en un gran cambio. Sin embargo, si la aproximación se define asintóticamente, por ejemplo, diciendo que dos funciones f y g son aproximadamente iguales cerca de algún punto si el límite de f - g es 0 en ese punto, entonces esto define una relación de equivalencia.
Conexiones con otras relaciones
- Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva.
- La igualdad es tanto una relación de equivalencia como un orden parcial. La igualdad es también la única relación en un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En las expresiones algebraicas , las variables iguales pueden sustituirse entre sí, una función que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase.
- Un orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrico .
- Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Tal relación es reflexiva si y solo si es serial , es decir, si ∀ a ∃ b a ~ b . [4] Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y serial.
- Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario de la relación de equivalencia habitual (binaria).
- Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si es finita) y una relación de tolerancia si es infinita.
- Un pedido anticipado es reflexivo y transitivo.
- Una relación de congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio X es también el conjunto subyacente de una estructura algebraica y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia juegan el papel de núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura en la que se definen (por ejemplo, las relaciones de congruencia en los grupos corresponden a los subgrupos normales ).
- Cualquier relación de equivalencia es la negación de una relación de separación , aunque el enunciado inverso solo se cumple en las matemáticas clásicas (en oposición a las matemáticas constructivas ), ya que es equivalente a la ley del medio excluido .
Bien definido bajo una relación de equivalencia
Si ~ es una relación de equivalencia en X , y P ( x ) es una propiedad de los elementos de X , tal que siempre que x ~ y , P ( x ) es verdadera si P ( y ) es verdadera, entonces se dice que la propiedad P estar bien definido o una clase invariante bajo la relación ~.
Un caso particular frecuente ocurre cuando f es una función de X a otro conjunto Y ; si x 1 ~ x 2 implica f ( x 1 ) = f ( x 2 ) entonces se dice que f es un morfismo para ~, una clase invariante bajo ~, o simplemente invariante bajo ~. Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de grupos finitos. El último caso con la función f se puede expresar mediante un triángulo conmutativo. Véase también invariante . Algunos autores usan "compatible con ~" o simplemente "respeta ~" en lugar de "invariante bajo ~".
De manera más general, una función puede mapear argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia ~ A ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia ~ B ). Función de un tipo se conoce como un morfismo de ~ A a ~ B .
Clase de equivalencia, conjunto de cocientes, partición
Dejar . Algunas definiciones:
Clase de equivalencia
Un subconjunto Y de X tal que a ~ b se cumple para todo a y b en Y , y nunca para a en Y y b fuera de Y , se denomina clase de equivalencia de X por ~. Dejardenotar la clase de equivalencia a la que una pertenece. Todos los elementos de X equivalentes entre sí son también elementos de la misma clase de equivalencia.
Conjunto de cociente
El conjunto de todas las clases de equivalencia de X por ~, denotado, es el cociente conjunto de X por ~. Si X es un espacio topológico , existe una forma natural de transformar X / ~ en un espacio topológico; vea el espacio del cociente para más detalles.
Proyección
La proyección de ~ es la función definido por que mapea elementos de X en sus respectivas clases de equivalencia por ~.
- Teorema de las proyecciones : [5] Sea la función f : X → B tal que a ~ b → f ( a ) = f ( b ). Entonces hay una función única g : X / ~ → B , tal que f = g π. Si f es una sobreyección y a ~ b ↔ f ( a ) = f ( b ), entonces g es una biyección .
Núcleo de equivalencia
El núcleo de equivalencia de una función f es la relación de equivalencia ~ definida por. El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad .
Dividir
Una partición de X es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de X , de manera que todos los elementos de X es un elemento de un solo elemento de P . Cada elemento de P es una celda de la partición. Además, los elementos de P son disjuntas dos a dos y su unión es X .
Contando particiones
Sea X un conjunto finito con n elementos. Dado que cada relación de equivalencia sobre X corresponde a una partición de X , y viceversa, el número de relaciones de equivalencia sobre X es igual al número de particiones distintas de X , que es el n- ésimo número de Bell B n :
- ( Fórmula de Dobinski ).
Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia
Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones: [6] [7] [8]
- Una relación de equivalencia ~ sobre un conjunto X particiones X .
- A la inversa, que corresponde a una partición de X , existe una relación de equivalencia ~ en X .
En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Dado que cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X , y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~, cada elemento de X pertenece a una clase de equivalencia única de X por ~. Por lo tanto no es un producto natural biyección entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X .
Comparación de relaciones de equivalencia
Si ~ y ≈ son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto S , y a ~ b implica a ≈ b para todo a , b ∈ S , entonces se dice que ≈ es una relación más gruesa que ~, y ~ es una relación más fina que ≈ . Equivalentemente,
- ~ es más fino que ≈ si cada clase de equivalencia de ~ es un subconjunto de una clase de equivalencia de ≈ y, por tanto, cada clase de equivalencia de ≈ es una unión de clases de equivalencia de ~.
- ~ es más fino que ≈ si la partición creada por ~ es un refinamiento de la partición creada por ≈.
La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más burda.
La relación "~ es más fina que ≈" en la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una red geométrica . [9]
Generando relaciones de equivalencia
- Dado cualquier conjunto X , se puede obtener una relación de equivalencia sobre el conjunto [ X → X ] de todas las funciones X → X de la siguiente manera. Dos funciones se consideran equivalentes cuando sus respectivos conjuntos de puntos fijos tienen la misma cardinalidad , correspondiente a ciclos de longitud uno en una permutación .
- Una relación de equivalencia ~ en X es el núcleo de equivalencia de su proyección sobreyectiva π: X → X / ~. [10] A la inversa, cualquier sobreyección entre conjuntos determina una partición en su dominio, el conjunto de preimágenes de singletons en el codominio . Por tanto, una relación de equivalencia sobre X , una partición de X y una proyección cuyo dominio es X , son tres formas equivalentes de especificar lo mismo.
- La intersección de cualquier conjunto de relaciones de equivalencia sobre X (relaciones binarias vistas como un subconjunto de X × X ) también es una relación de equivalencia. Esto produce una forma conveniente de generar una relación de equivalencia: dada cualquier relación binaria R sobre X , la relación de equivalencia generada por R es la intersección de todas las relaciones de equivalencia que contienen R (también conocida como la relación de equivalencia más pequeña que contiene R ). Concretamente, R genera la relación de equivalencia a ~ b si y solo si existen elementos x 1 , x 2 , ..., x n en X tales que a = x 1 , b = x n , y ( x i , x i +1 ) ∈ R o ( x yo +1 , x yo ) ∈ R , yo = 1, ..., n −1. La relación de equivalencia generada de esta manera puede ser trivial. Por ejemplo, la relación de equivalencia generada por cualquier orden total en X tiene exactamente una clase de equivalencia, la X misma.
- Las relaciones de equivalencia pueden construir nuevos espacios "pegando cosas". Sea X la unidad del cuadrado cartesiano [0, 1] × [0, 1], y sea ~ la relación de equivalencia en X definida por ( a , 0) ~ ( a , 1) para todo a ∈ [0, 1] y (0, b ) ~ (1, b ) para todo b ∈ [0, 1]. Luego, el espacio cociente X / ~ se puede identificar naturalmente ( homeomorfismo ) con un toro : tome una hoja de papel cuadrada, doble y pegue el borde superior e inferior para formar un cilindro, luego doble el cilindro resultante para pegar su dos extremos abiertos, resultando en un toro.
Estructura algebraica
Gran parte de las matemáticas se basa en el estudio de equivalencias y relaciones de orden . La teoría de celosía captura la estructura matemática de las relaciones de orden. Aunque las relaciones de equivalencia son tan ubicuas en matemáticas como las relaciones de orden, la estructura algebraica de equivalencias no es tan conocida como la de órdenes. La primera estructura se basa principalmente en la teoría de grupos y, en menor medida, en la teoría de retículas, categorías y agrupaciones .
Teoría de grupos
Así como las relaciones de orden se basan en conjuntos ordenados , conjuntos cerrados en pares supremum e infimum , las relaciones de equivalencia se basan en conjuntos particionados , que son conjuntos cerrados bajo biyecciones que preservan la estructura de partición. Dado que todas estas biyecciones mapean una clase de equivalencia sobre sí mismas, estas biyecciones también se conocen como permutaciones . Por lo tanto, los grupos de permutación (también conocidos como grupos de transformación ) y la noción relacionada de órbita arrojan luz sobre la estructura matemática de las relaciones de equivalencia.
Sea '~' una relación de equivalencia sobre algún conjunto A no vacío , llamado universo o conjunto subyacente. Sea G el conjunto de funciones biyectivas sobre A que conservan la estructura de partición de A : ∀ x ∈ A ∀ g ∈ G ( g ( x ) ∈ [ x ]). Entonces se cumplen los siguientes tres teoremas conectados: [11]
- ~ divide A en clases de equivalencia. (Este es el Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, mencionado anteriormente);
- Dada una partición de A , G es un grupo de transformación en composición, cuyas órbitas son las células de la partición; [15]
- Dado un grupo de transformaciones G sobre A , existe una relación de equivalencia ~ sobre A , cuyas clases de equivalencia son las órbitas de G . [16] [17]
En resumen, dada una relación de equivalencia ~ sobre A , existe un grupo de transformación G sobre A cuyas órbitas son las clases de equivalencia de A bajo ~.
Esta caracterización del grupo de transformación de las relaciones de equivalencia difiere fundamentalmente de la forma en que las redes caracterizan las relaciones de orden. Los argumentos de las operaciones de la teoría de celosía se reúnen y unirse son elementos de un universo A . Mientras tanto, los argumentos de la operaciones de grupo transformación composición y inversa son elementos de un conjunto de biyecciones , A → A .
Pasando a grupos en general, dejar que H sea un subgrupo de algún grupo G . Sea ~ una relación de equivalencia en G , tal que a ~ b ↔ ( ab −1 ∈ H ). Las clases de equivalencia de ~ -también llamados las órbitas de la acción de H en G -son las correctas cojunto de H en G . Intercambiando un y b produce el clases laterales izquierdas.
El pensamiento relacionado se puede encontrar en Rosen (2008: cap. 10).
Categorías y agrupaciones
Let G ser un conjunto y dejar que "~" denota una relación de equivalencia sobre G . Entonces podemos formar un grupoide que represente esta relación de equivalencia de la siguiente manera. Los objetos son los elementos de G , y para cualquier par de elementos x y y de G , existe un único morfismo de x a y si y sólo si x ~ y .
Las ventajas de considerar una relación de equivalencia como un caso especial de un grupoide incluyen:
- Mientras que la noción de "relación de equivalencia libre" no existe, sí existe la de un grupoide libre en un gráfico dirigido . Por tanto, es significativo hablar de una "presentación de una relación de equivalencia", es decir, una presentación del correspondiente grupoide;
- Los paquetes de grupos, las acciones de grupo , los conjuntos y las relaciones de equivalencia pueden considerarse casos especiales de la noción de grupoide, un punto de vista que sugiere una serie de analogías;
- En muchos contextos, el "cociente" y, por lo tanto, las relaciones de equivalencia apropiadas, a menudo llamadas congruencias , son importantes. Esto conduce a la noción de un grupoide interno en una categoría . [18]
Celosías
Las relaciones de equivalencia en cualquier conjunto X , cuando se ordenan por inclusión de conjuntos , forman un retículo completo , llamado Con X por convención. La canónica mapa ker : X ^ X → Con X , relaciona el monoide X ^ X de todas las funciones de X y de Con X . ker es sobreyectiva pero no inyectiva . De manera menos formal, la relación de equivalencia ker sobre X , toma cada función f : X → X a su kernel ker f . Del mismo modo, ker (ker) es una relación de equivalencia en X ^ X .
Relaciones de equivalencia y lógica matemática
Las relaciones de equivalencia son una fuente fácil de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo sencillo de una teoría que es ω- categórica , pero no categórica para ningún número cardinal mayor .
Una implicación de la teoría de modelos es que las propiedades que definen una relación pueden demostrarse independientes entre sí (y, por tanto, partes necesarias de la definición) si y solo si, para cada propiedad, se pueden encontrar ejemplos de relaciones que no satisfacen la propiedad dada mientras satisfacen todas las demás propiedades. Por tanto, las tres propiedades definitorias de las relaciones de equivalencia pueden demostrarse mutuamente independientes mediante los siguientes tres ejemplos:
- Reflexiva y transitiva : La relación ≤ en N . O cualquier preorden ;
- Simétrica y transitiva : La relación R sobre N , definida como aRb ↔ ab ≠ 0. O cualquier relación de equivalencia parcial ;
- Reflexiva y simétrica : La relación R sobre Z , definida como aRb ↔ " a - b es divisible por al menos uno de 2 o 3." O cualquier relación de dependencia .
Las propiedades definibles en lógica de primer orden que una relación de equivalencia puede poseer o no incluyen:
- El número de clases de equivalencia es finito o infinito;
- El número de clases de equivalencia es igual al número natural (finito) n ;
- Todas las clases de equivalencia tienen cardinalidad infinita ;
- El número de elementos en cada clase de equivalencia es el número natural n .
Relaciones euclidianas
Euclides 's The Elements incluye lo siguiente "noción común 1":
- Las cosas que son iguales a lo mismo también son iguales entre sí.
Hoy en día, la propiedad descrita por Common Notion 1 se llama euclidiana (reemplazando "igual" por "están en relación con"). Por "relación" se entiende una relación binaria , en la que aRb es generalmente distinto de bRa . Por tanto, una relación euclidiana se presenta en dos formas:
- ( aRc ∧ bRc ) → aRb (relación izquierda-euclidiana)
- ( cRa ∧ cRb ) → aRb ( Relación derecha-euclidiana)
El siguiente teorema conecta las relaciones euclidianas y las relaciones de equivalencia:
- Teorema
- Si una relación es (izquierda o derecha) euclidiana y reflexiva , también es simétrica y transitiva.
- Prueba de una relación euclidiana izquierda
- ( aRc ∧ bRc ) → aRb [ a / c ] = ( aRa ∧ bRa ) → aRb [ reflexivo ; borrar T ∧] = bRa → aRb . Por tanto, R es simétrico .
- ( aRc ∧ bRc ) → aRb [ simetría ] = ( aRc ∧ cRb ) → aRb . Por tanto, R es transitivo .
con una prueba análoga para una relación euclidiana derecha. Por tanto, una relación de equivalencia es una relación euclidiana y reflexiva . Los Elementos no mencionan ni simetría ni reflexividad, y Euclides probablemente habría considerado la reflexividad de la igualdad demasiado obvia para justificar una mención explícita.
Ver también
- Relación de separación
- Clase conjugada
- Equipollencia (geometría)
- Cociente por una relación de equivalencia
- Conjugación topológica
- Hasta
Notas
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Clase de equivalencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ a b c "7.3: Clases de equivalencia" . Matemáticas LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ Si: Dado a , supongamos que a ~ b se mantiene usando la serialidad, entonces b ~ a por simetría, luego a ~ a por transitividad. - Solo si: Dado a , elija b = a , luego a ~ b por reflexividad.
- ^ Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Álgebra , 3ª ed. pag. 35, Th. 19. Chelsea.
- ^ Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . pag. 31, jue. 8. Springer-Verlag.
- ^ Dummit, DS y Foote, RM, 2004. Álgebra abstracta , 3ª ed. pag. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.
- ^ Karel Hrbacek y Thomas Jech (1999) Introducción a la teoría de conjuntos , tercera edición, páginas 29-32, Marcel Dekker
- ^ Birkhoff, Garrett (1995), Teoría de celosía , Publicaciones del coloquio, 25 (3.a ed.), Sociedad matemática estadounidense, ISBN 9780821810255. Secta. IV.9, Teorema 12, página 95
- ^ Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Álgebra , 3ª ed. pag. 33, mi. 18. Chelsea.
- ^ Rosen (2008), págs. 243–45. Menos claro es §10.3 de Bas van Fraassen , 1989. Laws and Symmetry . Universidad de Oxford. Prensa.
- ^ Bas van Fraassen, 1989. Leyes y simetría . Universidad de Oxford. Presione: 246.
- ^ Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 22, Th. 6.
- ^ Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 24, jue. 7.
- ^ Prueba . [12] Deje que la composición de la función interprete la multiplicación de grupos y la función inversa interprete la inversa del grupo. Entonces G es un grupo en composición, lo que significa que ∀ x ∈ A ∀ g ∈ G ([ g ( x )] = [ x ]), porque G satisface las siguientes cuatro condiciones:
- G está cerrado bajo composición . La composición de cualquiera de los dos elementos de G existe, debido a que el dominio y codomain de cualquier elemento de G es A . Además, la composición de las biyecciones es biyectiva ; [13]
- Existencia de función de identidad . La función identidad , I ( x ) = x , es un elemento obvio de G ;
- Existencia de función inversa . Toda función biyectiva g tiene una inversa g −1 , tal que gg −1 = I ;
- Asociados de composición . f ( gh ) = ( fg ) h . Esto es válido para todas las funciones en todos los dominios. [14]
- ^ Wallace, DAR, 1998. Grupos, anillos y campos . Springer-Verlag: 202, Th. 6.
- ^ Dummit, DS y Foote, RM, 2004. Álgebra abstracta , 3ª ed. John Wiley & Sons: 114, Prop.2.
- ^ Borceux, F. y Janelidze, G., 2001. Teorías de Galois , Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8
Referencias
- Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8 .
- Castellani, E., 2003, "Simetría y equivalencia" en Brading, Katherine y E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections . Cambridge Univ. Presione: 422–433.
- Robert Dilworth y Crawley, Peter, 1973. Teoría algebraica de celosías . Prentice Hall. Cap. 12 analiza cómo surgen las relaciones de equivalencia en la teoría de la red .
- Higgins, PJ, 1971. Categorías y agrupaciones. Van Nostrand. Descargable desde 2005 como una reimpresión de TAC.
- John Randolph Lucas , 1973. Tratado sobre el tiempo y el espacio . Londres: Methuen. Sección 31.
- Rosen, Joseph (2008) Reglas de simetría: cómo la ciencia y la naturaleza se basan en la simetría . Springer-Verlag. Mayormente capítulos. 9,10.
- Raymond Wilder (1965) Introducción a los fundamentos de las matemáticas 2ª edición, Capítulo 2-8: Axiomas que definen la equivalencia, págs. 48–50, John Wiley & Sons .
enlaces externos
- "Relación de equivalencia" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Bogomolny, A. , " Relación de equivalencia " corta el nudo . Consultado el 1 de septiembre de 2009.
- Relación de equivalencia en PlanetMath
- Secuencia OEIS A231428 (matrices binarias que representan relaciones de equivalencia)